MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vitalilem1OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vitalilem1OLD 23300
Description: Obsolete proof of vitalilem1 23299 as of 1-May-2021. Lemma for vitali 23305. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
vitali.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
Assertion
Ref Expression
vitalilem1OLD Er (0[,]1)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,

Proof of Theorem vitalilem1OLD
Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vitali.1 . . . . 5 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
21relopabi 5210 . . . 4 Rel
32a1i 11 . . 3 (⊤ → Rel )
4 simplr 791 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
5 simpll 789 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
6 unitssre 12269 . . . . . . . . . . 11 (0[,]1) ⊆ ℝ
76sseli 3583 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℝ)
87recnd 10020 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℂ)
98ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ ℂ)
106sseli 3583 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℝ)
1110recnd 10020 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℂ)
1211ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ ℂ)
139, 12negsubdi2d 10360 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢𝑣) = (𝑣𝑢))
14 qnegcl 11757 . . . . . . . 8 ((𝑢𝑣) ∈ ℚ → -(𝑢𝑣) ∈ ℚ)
1514adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢𝑣) ∈ ℚ)
1613, 15eqeltrrd 2699 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → (𝑣𝑢) ∈ ℚ)
174, 5, 16jca31 556 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑢) ∈ ℚ))
18 oveq12 6619 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑥𝑦) = (𝑢𝑣))
1918eleq1d 2683 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢𝑣) ∈ ℚ))
2019, 1brab2ga 5160 . . . . 5 (𝑢 𝑣 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ))
21 oveq12 6619 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑢) → (𝑥𝑦) = (𝑣𝑢))
2221eleq1d 2683 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑢) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣𝑢) ∈ ℚ))
2322, 1brab2ga 5160 . . . . 5 (𝑣 𝑢 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑢) ∈ ℚ))
2417, 20, 233imtr4i 281 . . . 4 (𝑢 𝑣𝑣 𝑢)
2524adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑢 𝑣) → 𝑣 𝑢)
26 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 𝑣)
2726, 20sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ))
2827simpld 475 . . . . . . 7 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)))
2928simpld 475 . . . . . 6 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
30 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑣 𝑤)
31 oveq12 6619 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → (𝑥𝑦) = (𝑣𝑤))
3231eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣𝑤) ∈ ℚ))
3332, 1brab2ga 5160 . . . . . . . . 9 (𝑣 𝑤 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑤) ∈ ℚ))
3430, 33sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑤) ∈ ℚ))
3534simpld 475 . . . . . . 7 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)))
3635simprd 479 . . . . . 6 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
3729, 36jca 554 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)))
3829, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 ∈ ℂ)
3927, 12syl 17 . . . . . . 7 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑣 ∈ ℂ)
406, 36sseldi 3585 . . . . . . . 8 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
4140recnd 10020 . . . . . . 7 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑤 ∈ ℂ)
4238, 39, 41npncand 10368 . . . . . 6 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑢𝑣) + (𝑣𝑤)) = (𝑢𝑤))
4327simprd 479 . . . . . . 7 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑢𝑣) ∈ ℚ)
4434simprd 479 . . . . . . 7 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑣𝑤) ∈ ℚ)
45 qaddcl 11756 . . . . . . 7 (((𝑢𝑣) ∈ ℚ ∧ (𝑣𝑤) ∈ ℚ) → ((𝑢𝑣) + (𝑣𝑤)) ∈ ℚ)
4643, 44, 45syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑢𝑣) + (𝑣𝑤)) ∈ ℚ)
4742, 46eqeltrrd 2699 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑢𝑤) ∈ ℚ)
48 oveq12 6619 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑤) → (𝑥𝑦) = (𝑢𝑤))
4948eleq1d 2683 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑤) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢𝑤) ∈ ℚ))
5049, 1brab2ga 5160 . . . . 5 (𝑢 𝑤 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑤) ∈ ℚ))
5137, 47, 50sylanbrc 697 . . . 4 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 𝑤)
5251adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑢 𝑣𝑣 𝑤)) → 𝑢 𝑤)
538subidd 10332 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢𝑢) = 0)
54 0z 11340 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
55 zq 11746 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ∈ ℚ
5753, 56syl6eqel 2706 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢𝑢) ∈ ℚ)
5857adantr 481 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) → (𝑢𝑢) ∈ ℚ)
5958pm4.71i 663 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑢) ∈ ℚ))
60 pm4.24 674 . . . . 5 (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)))
61 oveq12 6619 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑢) → (𝑥𝑦) = (𝑢𝑢))
6261eleq1d 2683 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑢) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢𝑢) ∈ ℚ))
6362, 1brab2ga 5160 . . . . 5 (𝑢 𝑢 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑢) ∈ ℚ))
6459, 60, 633bitr4i 292 . . . 4 (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑢 𝑢)
6564a1i 11 . . 3 (⊤ → (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑢 𝑢))
663, 25, 52, 65iserd 7720 . 2 (⊤ → Er (0[,]1))
6766trud 1490 1 Er (0[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987   class class class wbr 4618  {copab 4677  Rel wrel 5084  (class class class)co 6610   Er wer 7691  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891  cmin 10218  -cneg 10219  cz 11329  cq 11740  [,]cicc 12128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-q 11741  df-icc 12132
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator