MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vitalilem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vitalilem5 23104
Description: Lemma for vitali 23105. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vitali.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
vitali.2 𝑆 = ((0[,]1) / )
vitali.3 (𝜑𝐹 Fn 𝑆)
vitali.4 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
vitali.5 (𝜑𝐺:ℕ–1-1-onto→(ℚ ∩ (-1[,]1)))
vitali.6 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹})
vitali.7 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol))
Assertion
Ref Expression
vitalilem5 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝐺   𝜑,𝑛,𝑥,𝑧   𝑧,𝑆   𝑥,𝑇   𝑛,𝐹,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑛,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem vitalilem5
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt1 10399 . . . 4 0 < 1
2 0re 9896 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3 1re 9895 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
4 0le1 10400 . . . . . 6 0 ≤ 1
5 ovolicc 23015 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (vol*‘(0[,]1)) = (1 − 0))
62, 3, 4, 5mp3an 1415 . . . . 5 (vol*‘(0[,]1)) = (1 − 0)
7 1m0e1 10978 . . . . 5 (1 − 0) = 1
86, 7eqtri 2631 . . . 4 (vol*‘(0[,]1)) = 1
91, 8breqtrri 4604 . . 3 0 < (vol*‘(0[,]1))
108, 3eqeltri 2683 . . . 4 (vol*‘(0[,]1)) ∈ ℝ
112, 10ltnlei 10009 . . 3 (0 < (vol*‘(0[,]1)) ↔ ¬ (vol*‘(0[,]1)) ≤ 0)
129, 11mpbi 218 . 2 ¬ (vol*‘(0[,]1)) ≤ 0
13 vitali.1 . . . . . 6 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
14 vitali.2 . . . . . 6 𝑆 = ((0[,]1) / )
15 vitali.3 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝑆)
16 vitali.4 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
17 vitali.5 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ–1-1-onto→(ℚ ∩ (-1[,]1)))
18 vitali.6 . . . . . 6 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹})
19 vitali.7 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol))
2013, 14, 15, 16, 17, 18, 19vitalilem2 23101 . . . . 5 (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ (-1[,]2)))
2120simp2d 1066 . . . 4 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚))
2213vitalilem1 23099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Er (0[,]1)
23 erdm 7616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ( Er (0[,]1) → dom = (0[,]1))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 dom = (0[,]1)
25 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
2625, 14syl6eleq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ((0[,]1) / ))
27 elqsn0 7680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((dom = (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ ((0[,]1) / )) → 𝑧 ≠ ∅)
2824, 26, 27sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ≠ ∅)
2922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 Er (0[,]1))
3029qsss 7672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((0[,]1) / ) ⊆ 𝒫 (0[,]1))
3114, 30syl5eqss 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑆 ⊆ 𝒫 (0[,]1))
3231sselda 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ 𝒫 (0[,]1))
3332elpwid 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ⊆ (0[,]1))
3433sseld 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧𝑆) → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑧 → (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3528, 34embantd 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝑆) → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) → (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3635ralimdva 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∀𝑧𝑆 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3716, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1))
38 ffnfv 6280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:𝑆⟶(0[,]1) ↔ (𝐹 Fn 𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3915, 37, 38sylanbrc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝑆⟶(0[,]1))
40 frn 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝑆⟶(0[,]1) → ran 𝐹 ⊆ (0[,]1))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,]1))
42 unitssre 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0[,]1) ⊆ ℝ
4341, 42syl6ss 3579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
44 reex 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ∈ V
4544elpw2 4750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ↔ ran 𝐹 ⊆ ℝ)
4643, 45sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ)
4746anim1i 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) → (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
48 eldif 3549 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol) ↔ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
4947, 48sylibr 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol))
5049ex 448 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (¬ ran 𝐹 ∈ dom vol → ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol)))
5119, 50mt3d 138 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ dom vol)
5251adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ran 𝐹 ∈ dom vol)
53 f1of 6035 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:ℕ–1-1-onto→(ℚ ∩ (-1[,]1)) → 𝐺:ℕ⟶(ℚ ∩ (-1[,]1)))
5417, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:ℕ⟶(ℚ ∩ (-1[,]1)))
55 inss1 3794 . . . . . . . . . . . . 13 (ℚ ∩ (-1[,]1)) ⊆ ℚ
56 qssre 11630 . . . . . . . . . . . . 13 ℚ ⊆ ℝ
5755, 56sstri 3576 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ ∩ (-1[,]1)) ⊆ ℝ
58 fss 5955 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ℕ⟶(ℚ ∩ (-1[,]1)) ∧ (ℚ ∩ (-1[,]1)) ⊆ ℝ) → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
5954, 57, 58sylancl 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℝ)
6059ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
61 shftmbl 23030 . . . . . . . . . 10 ((ran 𝐹 ∈ dom vol ∧ (𝐺𝑛) ∈ ℝ) → {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
6252, 60, 61syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
6362, 18fmptd 6277 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇:ℕ⟶dom vol)
6463ffvelrnda 6252 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
6564ralrimiva 2948 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
66 iunmbl 23045 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol → 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
6765, 66syl 17 . . . . 5 (𝜑 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
68 mblss 23023 . . . . 5 ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol → 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . 4 (𝜑 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
70 ovolss 22977 . . . 4 (((0[,]1) ⊆ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ) → (vol*‘(0[,]1)) ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
7121, 69, 70syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (vol*‘(0[,]1)) ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
72 eqid 2609 . . . . . 6 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))))
73 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))
74 mblss 23023 . . . . . . 7 ((𝑇𝑚) ∈ dom vol → (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
7564, 74syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
7613, 14, 15, 16, 17, 18, 19vitalilem4 23103 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑇𝑚)) = 0)
7776, 2syl6eqel 2695 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑇𝑚)) ∈ ℝ)
7876mpteq2dva 4666 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0))
79 fconstmpt 5075 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
80 nnuz 11555 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
8180xpeq1i 5049 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {0}) = ((ℤ‘1) × {0})
8279, 81eqtr3i 2633 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0) = ((ℤ‘1) × {0})
8378, 82syl6eq 2659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))) = ((ℤ‘1) × {0}))
8483seqeq3d 12626 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) = seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})))
85 1z 11240 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
86 serclim0 14102 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0)
8785, 86ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0
8884, 87syl6eqbr 4616 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ⇝ 0)
89 seqex 12620 . . . . . . . 8 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ∈ V
90 c0ex 9890 . . . . . . . 8 0 ∈ V
9189, 90breldm 5238 . . . . . . 7 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ⇝ 0 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
9288, 91syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
9372, 73, 75, 77, 92ovoliun2 22998 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘(𝑇𝑚)))
9476sumeq2dv 14227 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘(𝑇𝑚)) = Σ𝑚 ∈ ℕ 0)
9580eqimssi 3621 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ (ℤ‘1)
9695orci 403 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∨ ℕ ∈ Fin)
97 sumz 14246 . . . . . . 7 ((ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑚 ∈ ℕ 0 = 0)
9896, 97ax-mp 5 . . . . . 6 Σ𝑚 ∈ ℕ 0 = 0
9994, 98syl6eq 2659 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘(𝑇𝑚)) = 0)
10093, 99breqtrd 4603 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ 0)
101 ovolge0 22973 . . . . 5 ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
10269, 101syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
103 ovolcl 22970 . . . . . 6 ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ∈ ℝ*)
10469, 103syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ∈ ℝ*)
105 0xr 9942 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
106 xrletri3 11820 . . . . 5 (((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) = 0 ↔ ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))))
107104, 105, 106sylancl 692 . . . 4 (𝜑 → ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) = 0 ↔ ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))))
108100, 102, 107mpbir2and 958 . . 3 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) = 0)
10971, 108breqtrd 4603 . 2 (𝜑 → (vol*‘(0[,]1)) ≤ 0)
11012, 109mto 186 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  {crab 2899  cdif 3536  cin 3538  wss 3539  c0 3873  𝒫 cpw 4107  {csn 4124   ciun 4449   class class class wbr 4577  {copab 4636  cmpt 4637   × cxp 5026  dom cdm 5028  ran crn 5029   Fn wfn 5785  wf 5786  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527   Er wer 7603   / cqs 7605  Fincfn 7818  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118  cn 10867  2c2 10917  cz 11210  cuz 11519  cq 11620  [,]cicc 12005  seqcseq 12618  cli 14009  Σcsu 14210  vol*covol 22955  volcvol 22956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cc 9117  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-ec 7608  df-qs 7612  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-rest 15852  df-topgen 15873  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-cmp 20942  df-ovol 22957  df-vol 22958
This theorem is referenced by:  vitali  23105
  Copyright terms: Public domain W3C validator