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Theorem volfiniune 30071
Description: The Lebesgue measure function is countably additive. This theorem is to volfiniun 23222 what voliune 30070 is to voliun 23229. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volfiniune ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem volfiniune
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ Fin)
2 simpl2 1063 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
3 simpr 477 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
4 r19.26 3057 . . . . 5 (∀𝑛𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ↔ (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
52, 3, 4sylanbrc 697 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∀𝑛𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
6 simpl3 1064 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → Disj 𝑛𝐴 𝐵)
7 volfiniun 23222 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ𝑛𝐴 (vol‘𝐵))
81, 5, 6, 7syl3anc 1323 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ𝑛𝐴 (vol‘𝐵))
9 nfcv 2761 . . . 4 𝑛𝐴
109nfel1 2775 . . . . . 6 𝑛 𝐴 ∈ Fin
11 nfra1 2936 . . . . . 6 𝑛𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol
12 nfdisj1 4596 . . . . . 6 𝑛Disj 𝑛𝐴 𝐵
1310, 11, 12nf3an 1828 . . . . 5 𝑛(𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵)
14 nfra1 2936 . . . . 5 𝑛𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ
1513, 14nfan 1825 . . . 4 𝑛((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
163r19.21bi 2927 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
17 rspa 2925 . . . . . . . 8 ((∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑛𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol)
18 volf 23204 . . . . . . . . 9 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
1918ffvelrni 6314 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ dom vol → (vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2017, 19syl 17 . . . . . . 7 ((∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
212, 20sylan 488 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
22 0xr 10030 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
23 pnfxr 10036 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
24 elicc1 12161 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol‘𝐵) ∧ (vol‘𝐵) ≤ +∞)))
2522, 23, 24mp2an 707 . . . . . . 7 ((vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol‘𝐵) ∧ (vol‘𝐵) ≤ +∞))
2625simp2bi 1075 . . . . . 6 ((vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (vol‘𝐵))
2721, 26syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝐴) → 0 ≤ (vol‘𝐵))
28 ltpnf 11898 . . . . . 6 ((vol‘𝐵) ∈ ℝ → (vol‘𝐵) < +∞)
2916, 28syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) < +∞)
30 0re 9984 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
31 elico2 12179 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((vol‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((vol‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (vol‘𝐵) ∧ (vol‘𝐵) < +∞)))
3230, 23, 31mp2an 707 . . . . 5 ((vol‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((vol‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (vol‘𝐵) ∧ (vol‘𝐵) < +∞))
3316, 27, 29, 32syl3anbrc 1244 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
349, 15, 1, 33esumpfinvalf 29916 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵) = Σ𝑛𝐴 (vol‘𝐵))
358, 34eqtr4d 2658 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵))
36 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞)
37 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑘(vol‘𝐵) = +∞
38 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑛vol
39 nfcsb1v 3530 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑘 / 𝑛𝐵
4038, 39nffv 6155 . . . . . . . . . 10 𝑛(vol‘𝑘 / 𝑛𝐵)
4140nfeq1 2774 . . . . . . . . 9 𝑛(vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞
42 csbeq1a 3523 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑛𝐵)
4342fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (vol‘𝐵) = (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵))
4443eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((vol‘𝐵) = +∞ ↔ (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞))
4537, 41, 44cbvrex 3156 . . . . . . . 8 (∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞ ↔ ∃𝑘𝐴 (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞)
4636, 45sylib 208 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → ∃𝑘𝐴 (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞)
4739nfel1 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol
4842eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol))
4947, 48rspc 3289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴 → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol))
5049impcom 446 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
5150adantll 749 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
52 finiunmbl 23219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
54 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑘
559, 54, 39, 42ssiun2sf 29220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐴𝑘 / 𝑛𝐵 𝑛𝐴 𝐵)
5655adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑛𝐵 𝑛𝐴 𝐵)
57 volss 23208 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑘 / 𝑛𝐵 𝑛𝐴 𝐵) → (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
5851, 53, 56, 57syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘𝐴) → (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
59583adantl3 1217 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ 𝑘𝐴) → (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
6059adantlr 750 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) ∧ 𝑘𝐴) → (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
6160ralrimiva 2960 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → ∀𝑘𝐴 (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
62 r19.29r 3066 . . . . . . 7 ((∃𝑘𝐴 (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ ∧ ∀𝑘𝐴 (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)) → ∃𝑘𝐴 ((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ ∧ (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)))
6346, 61, 62syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → ∃𝑘𝐴 ((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ ∧ (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)))
64 breq1 4616 . . . . . . . 8 ((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ → ((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ↔ +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)))
6564biimpa 501 . . . . . . 7 (((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ ∧ (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)) → +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
6665reximi 3005 . . . . . 6 (∃𝑘𝐴 ((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ ∧ (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)) → ∃𝑘𝐴 +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
6763, 66syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → ∃𝑘𝐴 +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
68 rexex 2996 . . . . . 6 (∃𝑘𝐴 +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) → ∃𝑘+∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
69 19.9v 1893 . . . . . 6 (∃𝑘+∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ↔ +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
7068, 69sylib 208 . . . . 5 (∃𝑘𝐴 +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) → +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
7167, 70syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
72 iccssxr 12198 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
7318ffvelrni 6314 . . . . . . . . 9 ( 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
7472, 73sseldi 3581 . . . . . . . 8 ( 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ ℝ*)
7552, 74syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ ℝ*)
76753adant3 1079 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ ℝ*)
7776adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ ℝ*)
78 xgepnf 11940 . . . . 5 ((vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ ℝ* → (+∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ↔ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = +∞))
7977, 78syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → (+∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ↔ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = +∞))
8071, 79mpbid 222 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = +∞)
81 nfre1 2999 . . . . 5 𝑛𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞
8213, 81nfan 1825 . . . 4 𝑛((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞)
83 simpl1 1062 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → 𝐴 ∈ Fin)
84203ad2antl2 1222 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
8584adantlr 750 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
8682, 83, 85, 36esumpinfval 29913 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵) = +∞)
8780, 86eqtr4d 2658 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵))
88 exmid 431 . . . . 5 (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ¬ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
89 rexnal 2989 . . . . . 6 (∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ ↔ ¬ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
9089orbi2i 541 . . . . 5 ((∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ↔ (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ¬ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
9188, 90mpbir 221 . . . 4 (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
92 r19.29 3065 . . . . . . 7 ((∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∃𝑛𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
93 xrge0nre 12219 . . . . . . . . 9 (((vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘𝐵) = +∞)
9419, 93sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ dom vol ∧ ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘𝐵) = +∞)
9594reximi 3005 . . . . . . 7 (∃𝑛𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞)
9692, 95syl 17 . . . . . 6 ((∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞)
9796ex 450 . . . . 5 (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → (∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞))
9897orim2d 884 . . . 4 (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ((∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞)))
9991, 98mpi 20 . . 3 (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞))
100993ad2ant2 1081 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) → (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞))
10135, 87, 100mpjaodan 826 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  csb 3514  wss 3555   ciun 4485  Disj wdisj 4583   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cr 9879  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  [,)cico 12119  [,]cicc 12120  Σcsu 14350  volcvol 23139  Σ*cesum 29867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-ordt 16082  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-ps 17121  df-tsr 17122  df-plusf 17162  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-subrg 18699  df-abv 18738  df-lmod 18786  df-scaf 18787  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-tmd 21786  df-tgp 21787  df-tsms 21840  df-trg 21873  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-nm 22297  df-ngp 22298  df-nrg 22300  df-nlm 22301  df-ii 22588  df-cncf 22589  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207  df-esum 29868
This theorem is referenced by:  volmeas  30072
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