Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voliooico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voliooico 42154
Description: An open interval and a left-closed, right-open interval with the same real bounds, have the same Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
voliooico.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
voliooico.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
voliooico (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

Proof of Theorem voliooico
StepHypRef Expression
1 iftrue 4469 . . . . . 6 (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
21adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
3 voliooico.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43recnd 10657 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
54subidd 10973 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
65eqcomd 2824 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 = (𝐵𝐵))
76ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 0 = (𝐵𝐵))
8 iffalse 4472 . . . . . . 7 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
98adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
10 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝜑)
11 voliooico.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
1310, 3syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
1514adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
16 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
1712, 13, 15, 16lenlteq 41508 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
18 oveq2 7153 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
1918adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
2010, 17, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
217, 9, 203eqtr4d 2863 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
222, 21pm2.61dan 809 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
2322eqcomd 2824 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
2411adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
253adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
26 volioo 24097 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
2724, 25, 14, 26syl3anc 1363 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
28 volico 42145 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
2911, 3, 28syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
3029adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
3123, 27, 303eqtr4d 2863 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
32 simpl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝜑)
33 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
3432, 3syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
3532, 11syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3634, 35ltnled 10775 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
3733, 36mpbird 258 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
383adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3911adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
40 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
4138, 39, 40ltled 10776 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵𝐴)
4239rexrd 10679 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4338rexrd 10679 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 ioo0 12751 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4542, 43, 44syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4641, 45mpbird 258 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
47 ico0 12772 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4842, 43, 47syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4941, 48mpbird 258 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,)𝐵) = ∅)
5046, 49eqtr4d 2856 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
5150fveq2d 6667 . . 3 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
5232, 37, 51syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
5331, 52pm2.61dan 809 1 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  c0 4288  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  volcvol 23991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-rest 16684  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-cmp 21923  df-ovol 23992  df-vol 23993
This theorem is referenced by:  voliooicof  42158  vonn0ioo2  42849
  Copyright terms: Public domain W3C validator