Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voliooicof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voliooicof 39536
 Description: The Lebesgue measure of open intervals is the same as the Lebesgue measure of left-closed right open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
voliooicof.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
voliooicof (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem voliooicof
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volioof 39527 . . . . 5 (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞)
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞))
3 rexpssxrxp 10031 . . . . 5 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
5 voliooicof.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
62, 4, 5fcoss 38894 . . 3 (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
7 ffn 6004 . . 3 (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
9 volf 23210 . . . . . 6 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
11 icof 38903 . . . . . . . . . 10 [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
1312, 4, 5fcoss 38894 . . . . . . . 8 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ*)
14 ffn 6004 . . . . . . . 8 (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ* → ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
165adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
17 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1816, 17fvovco 38873 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))))
195ffvelrnda 6317 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ))
20 xp1st 7146 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
22 xp2nd 7147 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
2423rexrd 10036 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
25 icombl 23245 . . . . . . . . . 10 (((1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))) ∈ dom vol)
2621, 24, 25syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))) ∈ dom vol)
2718, 26eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
2827ralrimiva 2960 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
2915, 28jca 554 . . . . . 6 (𝜑 → (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
30 ffnfv 6346 . . . . . 6 (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol ↔ (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
3129, 30sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol)
32 fco 6017 . . . . 5 ((vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol) → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
3310, 31, 32syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
34 coass 5615 . . . . . 6 ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)))
3635feq1d 5989 . . . 4 (𝜑 → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞)))
3733, 36mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
38 ffn 6004 . . 3 (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
3937, 38syl 17 . 2 (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
4021, 23voliooico 39532 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))) = (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))))
415, 4fssd 6016 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
4241adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
4342, 17fvvolioof 39529 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))))
4442, 17fvvolicof 39531 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))))
4540, 43, 443eqtr4d 2665 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥))
468, 39, 45eqfnfvd 6272 1 (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ⊆ wss 3556  𝒫 cpw 4132   × cxp 5074  dom cdm 5076   ∘ ccom 5080   Fn wfn 5844  ⟶wf 5845  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  1st c1st 7114  2nd c2nd 7115  ℝcr 9882  0cc0 9883  +∞cpnf 10018  ℝ*cxr 10020  (,)cioo 12120  [,)cico 12122  [,]cicc 12123  volcvol 23145 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ioo 12124  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-rest 16007  df-topgen 16028  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-top 20621  df-topon 20638  df-bases 20664  df-cmp 21103  df-ovol 23146  df-vol 23147 This theorem is referenced by:  ovolval5lem3  40191
 Copyright terms: Public domain W3C validator