Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonct 42852
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of any countable set is zero. This is the second statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonct.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonct.2 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
vonct.3 (𝜑𝐴 ≼ ω)
Assertion
Ref Expression
vonct (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem vonct
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunid 4975 . . . . 5 𝑥𝐴 {𝑥} = 𝐴
21eqcomi 2827 . . . 4 𝐴 = 𝑥𝐴 {𝑥}
32fveq2i 6666 . . 3 ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘ 𝑥𝐴 {𝑥})
43a1i 11 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘ 𝑥𝐴 {𝑥}))
5 nfv 1906 . . 3 𝑥𝜑
6 vonct.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
76vonmea 42733 . . 3 (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8 eqid 2818 . . 3 dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
96adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑋 ∈ Fin)
10 vonct.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
1110sselda 3964 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
129, 11snvonmbl 42845 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
13 vonct.3 . . 3 (𝜑𝐴 ≼ ω)
14 sndisj 5048 . . . 4 Disj 𝑥𝐴 {𝑥}
1514a1i 11 . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 {𝑥})
165, 7, 8, 12, 13, 15meadjiun 42625 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘ 𝑥𝐴 {𝑥}) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))))
179, 11vonsn 42850 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((voln‘𝑋)‘{𝑥}) = 0)
1817mpteq2dva 5152 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥})) = (𝑥𝐴 ↦ 0))
1918fveq2d 6667 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ 0)))
207, 8dmmeasal 42611 . . . . . 6 (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ∈ SAlg)
2120, 13, 12saliuncl 42484 . . . . 5 (𝜑 𝑥𝐴 {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
221, 21eqeltrrid 2915 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))
235, 22sge0z 42534 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ 0)) = 0)
2419, 23eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = 0)
254, 16, 243eqtrd 2857 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  {csn 4557   ciun 4910  Disj wdisj 5022   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7145  ωcom 7569  m cmap 8395  cdom 8495  Fincfn 8497  cr 10524  0cc0 10525  Σ^csumge0 42521  volncvoln 42697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-13 2381  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-ac2 9873  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-prod 15248  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-pws 16711  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-field 19434  df-subrg 19462  df-abv 19517  df-staf 19545  df-srng 19546  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lmhm 19723  df-lvec 19804  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-refld 20677  df-phl 20698  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-nm 23119  df-ngp 23120  df-tng 23121  df-nrg 23122  df-nlm 23123  df-cncf 23413  df-clm 23594  df-cph 23699  df-tcph 23700  df-rrx 23915  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-salg 42471  df-sumge0 42522  df-mea 42609  df-ome 42649  df-caragen 42651  df-ovoln 42696  df-voln 42698
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator