Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonicc 39359
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonicc.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonicc.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonicc.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonicc.i 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))
vonicc.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
Assertion
Ref Expression
vonicc (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem vonicc
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonicc.l . . . . 5 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
2 vonicc.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
32adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4 feq2 5925 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
54adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
63, 5mpbid 220 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ)
7 vonicc.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
87adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
9 feq2 5925 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
109adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
118, 10mpbid 220 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵:∅⟶ℝ)
121, 6, 11hoidmv0val 39256 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)
1312eqcomd 2615 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 0 = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
14 fveq2 6087 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
15 vonicc.i . . . . . . . 8 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)))
17 ixpeq1 7782 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)))
1816, 17eqtrd 2643 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)))
1914, 18fveq12d 6093 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))))
2019adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))))
21 0fin 8050 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ Fin)
23 eqid 2609 . . . . . 6 dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
2422, 23, 6, 11iccvonmbl 39353 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) ∈ dom (voln‘∅))
2524von0val 39345 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))) = 0)
2620, 25eqtrd 2643 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = 0)
27 fveq2 6087 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (𝐿𝑋) = (𝐿‘∅))
2827oveqd 6543 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
2928adantl 480 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
3013, 26, 293eqtr4d 2653 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
31 neqne 2789 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
3231adantl 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
33 nfv 1829 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑𝑋 ≠ ∅)
34 nfra1 2924 . . . . . . . . 9 𝑘𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)
3533, 34nfan 1815 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
362ffvelrnda 6251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
377ffvelrnda 6251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
38 volico2 39314 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
3936, 37, 38syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
4039ad4ant14 1284 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
41 rspa 2913 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
4241iftrued 4043 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ∧ 𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4342adantll 745 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4440, 43eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4544ex 448 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝑘𝑋 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
4635, 45ralrimi 2939 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∀𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4746prodeq2d 14439 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4847eqcomd 2615 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
49 fveq2 6087 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑗))
50 fveq2 6087 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑗))
5149, 50breq12d 4590 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ↔ (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)))
5251cbvralv 3146 . . . . . . . 8 (∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ↔ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗))
5352biimpi 204 . . . . . . 7 (∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗))
5453adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗))
55 vonicc.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5655adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
5756adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
582adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
5958adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
607adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
6160adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
62 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
6362adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) → 𝑋 ≠ ∅)
6452, 41sylanbr 488 . . . . . . . 8 ((∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
6564adantll 745 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
66 fveq2 6087 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
6766oveq1d 6541 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚)) = ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚)))
6867cbvmptv 4672 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚)))
6968mpteq2i 4663 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚))))
70 oveq2 6534 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑛))
7170oveq2d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚)) = ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)))
7271mpteq2dv 4667 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))))
7372cbvmptv 4672 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))))
7469, 73eqtri 2631 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))))
75 fveq2 6087 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛))
7675fveq1d 6089 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘))
7776oveq2d 6542 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 → ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘)) = ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)))
7877ixpeq2dv 7787 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘)) = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)))
7978cbvmptv 4672 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)))
8057, 59, 61, 63, 65, 15, 74, 79vonicclem2 39358 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
8154, 80syldan 485 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
821, 56, 62, 58, 60hoidmvn0val 39257 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
8382adantr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
8448, 81, 833eqtr4d 2653 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
85 rexnal 2977 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
8685bicomi 212 . . . . . . . . 9 (¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ↔ ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
8786biimpi 204 . . . . . . . 8 (¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
8887adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
89 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
9037adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
9136adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
9290, 91ltnled 10035 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((𝐵𝑘) < (𝐴𝑘) ↔ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)))
9389, 92mpbird 245 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘))
9493ex 448 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
9594reximdva 2999 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
9695adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
9788, 96mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘))
9897adantlr 746 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘))
99 nfcv 2750 . . . . . . . . 9 𝑘(voln‘𝑋)
100 nfixp1 7791 . . . . . . . . . 10 𝑘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))
10115, 100nfcxfr 2748 . . . . . . . . 9 𝑘𝐼
10299, 101nffv 6094 . . . . . . . 8 𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼)
103 nfcv 2750 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴
104 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Fin
105 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(ℝ ↑𝑚 𝑥)
106 nfv 1829 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑥 = ∅
107 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘0
108 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑥
109108nfcprod1 14427 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))
110106, 107, 109nfif 4064 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))
111105, 105, 110nfmpt2 6599 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))
112104, 111nfmpt 4668 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
1131, 112nfcxfr 2748 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐿
114 nfcv 2750 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑋
115113, 114nffv 6094 . . . . . . . . 9 𝑘(𝐿𝑋)
116 nfcv 2750 . . . . . . . . 9 𝑘𝐵
117103, 115, 116nfov 6552 . . . . . . . 8 𝑘(𝐴(𝐿𝑋)𝐵)
118102, 117nfeq 2761 . . . . . . 7 𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵)
11955vonmea 39247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
120119mea0 39130 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
1211203ad2ant1 1074 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
12215a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)))
123 simp2 1054 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → 𝑘𝑋)
124 simp3 1055 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘))
125 ressxr 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℝ ⊆ ℝ*
126125, 36sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
127125, 37sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
128 icc0 12052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) → (((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
129126, 127, 128syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑋) → (((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
1301293adant3 1073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → (((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
131124, 130mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅)
132 rspe 2985 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑋 ∧ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅) → ∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅)
133123, 131, 132syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅)
134 ixp0 7804 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅)
136122, 135eqtrd 2643 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → 𝐼 = ∅)
137136fveq2d 6091 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘∅))
138 ne0i 3879 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑋𝑋 ≠ ∅)
139138adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
140139, 82syldan 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
1411403adant3 1073 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
142 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑋𝑘𝑋))
143 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
14466, 143breq12d 4590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵𝑗) < (𝐴𝑗) ↔ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
145142, 1443anbi23d 1393 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) ↔ (𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘))))
146145imbi1d 329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0) ↔ ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)))
147 nfv 1829 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗))
148553ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
149 volicore 39254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
15036, 37, 149syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
151150recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
1521513ad2antl1 1215 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
153 simp2 1054 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → 𝑗𝑋)
15449, 50oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗)))
155154fveq2d 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))))
156155adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))))
1572ffvelrnda 6251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
1587ffvelrnda 6251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
159 volico2 39314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
160157, 158, 159syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
1611603adant3 1073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
162 simp3 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗))
163158, 157ltnled 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝐵𝑗) < (𝐴𝑗) ↔ ¬ (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)))
1641633adant3 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → ((𝐵𝑗) < (𝐴𝑗) ↔ ¬ (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)))
165162, 164mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → ¬ (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗))
166165iffalsed 4046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → if((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0) = 0)
167161, 166eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = 0)
168167adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = 0)
169156, 168eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
170147, 148, 152, 153, 169fprodeq0g 14512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
171146, 170chvarv 2250 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
172141, 171eqtrd 2643 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = 0)
173121, 137, 1723eqtr4d 2653 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
1741733exp 1255 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) < (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))))
175174adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) < (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))))
17633, 118, 175rexlimd 3007 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵)))
177176imp 443 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
17898, 177syldan 485 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
17984, 178pm2.61dan 827 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
18032, 179syldan 485 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
18130, 180pm2.61dan 827 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  c0 3873  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  dom cdm 5027  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  cmpt2 6528  𝑚 cmap 7721  Xcixp 7771  Fincfn 7818  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10535  cn 10869  [,)cico 12006  [,]cicc 12007  cprod 14422  volcvol 22983  volncvoln 39211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cc 9117  ax-ac2 9145  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-ac 8799  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-ioo 12008  df-ico 12010  df-icc 12011  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-seq 12621  df-exp 12680  df-hash 12937  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-sum 14213  df-prod 14423  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-starv 15731  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-unif 15740  df-hom 15741  df-cco 15742  df-rest 15854  df-topn 15855  df-0g 15873  df-gsum 15874  df-topgen 15875  df-pt 15876  df-prds 15879  df-pws 15881  df-xrs 15933  df-qtop 15938  df-imas 15939  df-xps 15941  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-mhm 17106  df-submnd 17107  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-sbg 17198  df-mulg 17312  df-subg 17362  df-ghm 17429  df-cntz 17521  df-cmn 17966  df-abl 17967  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-cring 18321  df-oppr 18394  df-dvdsr 18412  df-unit 18413  df-invr 18443  df-dvr 18454  df-rnghom 18486  df-drng 18520  df-field 18521  df-subrg 18549  df-abv 18588  df-staf 18616  df-srng 18617  df-lmod 18636  df-lss 18702  df-lmhm 18791  df-lvec 18872  df-sra 18941  df-rgmod 18942  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-met 19509  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-cnfld 19516  df-refld 19717  df-phl 19737  df-dsmm 19842  df-frlm 19857  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470  df-topsp 20471  df-cn 20788  df-cnp 20789  df-cmp 20947  df-tx 21122  df-hmeo 21315  df-xms 21882  df-ms 21883  df-tms 21884  df-nm 22144  df-ngp 22145  df-tng 22146  df-nrg 22147  df-nlm 22148  df-cncf 22436  df-clm 22618  df-cph 22720  df-tch 22721  df-rrx 22925  df-ovol 22984  df-vol 22985  df-salg 38988  df-sumge0 39039  df-mea 39126  df-ome 39163  df-caragen 39165  df-ovoln 39210  df-voln 39212
This theorem is referenced by:  vonn0icc  39362
  Copyright terms: Public domain W3C validator