Theorem vonicclem1 42955

Description: The sequence of the measures of the half-open intervals converges to the measure of their intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonicclem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonicclem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonicclem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonicclem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
vonicclem1.t	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
vonicclem1.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
vonicclem1.d	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘)))
vonicclem1.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
vonicclem1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑘   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem vonicclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonicclem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷‘𝑛)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷‘𝑛))))
3		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
4		vonicclem1.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘)))
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))))
6		vonicclem1.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7	6	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
8		eqid 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
9		vonicclem1.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
10	9	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
11		vonicclem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
12	11	ffvelrnda 6844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
13	12	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
14		nnrecre 11671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
16	13, 15	readdcld 10662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
17	16	fmpttd 6872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
18		vonicclem1.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)))))
20	6	mptexd 6979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
21	20	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
22	19, 21	fvmpt2d 6774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑛) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
23	22	feq1d 6492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑛):𝑋⟶ℝ ↔ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ))
24	17, 23	mpbird 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑛):𝑋⟶ℝ)
25	7, 8, 10, 24	hoimbl 42903	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘)) ∈ dom (voln‘𝑋))
26	25	elexd 3513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘)) ∈ V)
27	5, 26	fvmpt2d 6774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘)))
28	3, 27	syldan 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘)))
29	28	fveq2d 6667	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷‘𝑛)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))))
30		vonicclem1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
31	30	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ≠ ∅)
32	3, 24	syldan 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑛):𝑋⟶ℝ)
33		eqid 2819	. . . . . . 7 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘)) = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))
34	7, 31, 10, 32, 33	vonn0hoi 42942	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))))
35	10	ffvelrnda 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
36	3, 35	syldanl 603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
37	32	ffvelrnda 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘𝑛)‘𝑘) ∈ ℝ)
38		volico 42258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝐶‘𝑛)‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) < ((𝐶‘𝑛)‘𝑘), (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
39	36, 37, 38	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) < ((𝐶‘𝑛)‘𝑘), (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
40	3, 13	syldanl 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
41		vonicclem1.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
42	41	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
43		nnrp 12392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
44	43	rpreccld 12433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
45	44	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
46	40, 45	ltaddrpd 12456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) < ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)))
47	16	elexd 3513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
48	22, 47	fvmpt2d 6774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘𝑛)‘𝑘) = ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)))
49	3, 48	syldanl 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘𝑛)‘𝑘) = ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)))
50	46, 49	breqtrrd 5085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) < ((𝐶‘𝑛)‘𝑘))
51	36, 40, 37, 42, 50	lelttrd 10790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) < ((𝐶‘𝑛)‘𝑘))
52	51	iftrued 4473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if((𝐴‘𝑘) < ((𝐶‘𝑛)‘𝑘), (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0) = (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
53	39, 52	eqtrd 2854	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))) = (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
54	53	prodeq2dv 15269	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
55	29, 34, 54	3eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷‘𝑛)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
56	48	oveq1d 7163	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) = (((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)) − (𝐴‘𝑘)))
57	13	recnd 10661	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ)
58	15	recnd 10661	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
59	35	recnd 10661	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
60	57, 58, 59	addsubd 11010	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)) − (𝐴‘𝑘)) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛)))
61	56, 60	eqtrd 2854	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛)))
62	61	prodeq2dv 15269	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛)))
63	55, 62	eqtrd 2854	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷‘𝑛)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛)))
64	63	mpteq2dva 5152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛))))
65	2, 64	eqtrd 2854	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛))))
66		nfv 1909	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
67	9	ffvelrnda 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
68	12, 67	resubcld 11060	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) ∈ ℝ)
69	68	recnd 10661	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
70		eqid 2819	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛)))
71	66, 6, 69, 70	fprodaddrecnncnv 42183	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛))) ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
72	65, 71	eqbrtrd 5079	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  Vcvv 3493  ∅c0 4289  ifcif 4465   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  dom cdm 5548  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Xcixp 8453  Fincfn 8501  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862   / cdiv 11289  ℕcn 11630  ℝ⁺crp 12381  [,)cico 12732   ⇝ cli 14833  ∏cprod 15251  volcvol 24056  volncvoln 42810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-acn 9363  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-prod 15252  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-cmp 21987  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-ovol 24057  df-vol 24058  df-salg 42584  df-sumge0 42635  df-mea 42722  df-ome 42762  df-caragen 42764  df-ovoln 42809  df-voln 42811

This theorem is referenced by:  vonicclem2  42956