Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonioo 39373
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonioo.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonioo.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonioo.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonioo.i 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
vonioo.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
Assertion
Ref Expression
vonioo (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑘,𝐿   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem vonioo
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonioo.l . . . . 5 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
2 vonioo.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
32adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4 feq2 5922 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
54adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
63, 5mpbid 220 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ)
7 vonioo.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
87adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
9 feq2 5922 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
109adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
118, 10mpbid 220 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵:∅⟶ℝ)
121, 6, 11hoidmv0val 39273 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)
1312eqcomd 2611 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 0 = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
14 fveq2 6084 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
15 vonioo.i . . . . . . . 8 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
17 ixpeq1 7778 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
1816, 17eqtrd 2639 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
1914, 18fveq12d 6090 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))))
2019adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))))
21 0fin 8046 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ Fin)
23 eqid 2605 . . . . . 6 dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
24 ressxr 9935 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → ℝ ⊆ ℝ*)
266, 25fssd 5952 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ*)
2711, 25fssd 5952 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵:∅⟶ℝ*)
2822, 23, 26, 27ioovonmbl 39368 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) ∈ dom (voln‘∅))
2928von0val 39362 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))) = 0)
3020, 29eqtrd 2639 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = 0)
31 fveq2 6084 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (𝐿𝑋) = (𝐿‘∅))
3231oveqd 6540 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
3332adantl 480 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
3413, 30, 333eqtr4d 2649 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
35 neqne 2785 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
3635adantl 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
37 nfv 1828 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑𝑋 ≠ ∅)
38 nfra1 2920 . . . . . . . . 9 𝑘𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)
3937, 38nfan 1814 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
402ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
417ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
42 volico 38676 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
4340, 41, 42syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
4443ad4ant14 1284 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
45 rspa 2909 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
4645iftrued 4039 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ∧ 𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4746adantll 745 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4844, 47eqtrd 2639 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4948ex 448 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (𝑘𝑋 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
5039, 49ralrimi 2935 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∀𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
5150prodeq2d 14433 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
5251eqcomd 2611 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
53 fveq2 6084 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑗))
54 fveq2 6084 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑗))
5553, 54breq12d 4586 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)))
5655cbvralv 3142 . . . . . . . 8 (∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗))
5756biimpi 204 . . . . . . 7 (∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) → ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗))
5857adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗))
59 vonioo.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6059adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
6160adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
622adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
6362adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
647adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
6564adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
66 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
6766adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) → 𝑋 ≠ ∅)
6856, 45sylanbr 488 . . . . . . . 8 ((∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
6968adantll 745 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
70 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
7170oveq1d 6538 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚)) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚)))
7271cbvmptv 4668 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚)))
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚))))
74 oveq2 6531 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑛))
7574oveq2d 6539 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚)) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
7675mpteq2dv 4663 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
7773, 76eqtrd 2639 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
7877cbvmptv 4668 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
79 nfcv 2746 . . . . . . . 8 𝑛X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))
80 nfcv 2746 . . . . . . . . 9 𝑚𝑋
81 nffvmpt1 6092 . . . . . . . . . . 11 𝑚((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)
82 nfcv 2746 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝑘
8381, 82nffv 6091 . . . . . . . . . 10 𝑚(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)
84 nfcv 2746 . . . . . . . . . 10 𝑚[,)
85 nfcv 2746 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐵𝑘)
8683, 84, 85nfov 6549 . . . . . . . . 9 𝑚((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))
8780, 86nfixp 7786 . . . . . . . 8 𝑚X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))
88 fveq2 6084 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛))
8988fveq1d 6086 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚)‘𝑘) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘))
9089oveq1d 6538 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9190ixpeq2dv 7783 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9279, 87, 91cbvmpt 4667 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9361, 63, 65, 67, 69, 15, 78, 92vonioolem2 39372 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
9458, 93syldan 485 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
951, 60, 66, 62, 64hoidmvn0val 39274 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
9695adantr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
9752, 94, 963eqtr4d 2649 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
98 rexnal 2973 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
9998bicomi 212 . . . . . . . . 9 (¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
10099biimpi 204 . . . . . . . 8 (¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
101100adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
102 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
10341adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
10440adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
105103, 104lenltd 10030 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ((𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) ↔ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)))
106102, 105mpbird 245 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
107106ex 448 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
108107reximdva 2995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
109108adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
110101, 109mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
111110adantlr 746 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
112 nfcv 2746 . . . . . . . . 9 𝑘(voln‘𝑋)
113 nfixp1 7787 . . . . . . . . . 10 𝑘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
11415, 113nfcxfr 2744 . . . . . . . . 9 𝑘𝐼
115112, 114nffv 6091 . . . . . . . 8 𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼)
116 nfcv 2746 . . . . . . . 8 𝑘(𝐴(𝐿𝑋)𝐵)
117115, 116nfeq 2757 . . . . . . 7 𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵)
11859vonmea 39264 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
119118mea0 39147 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
1201193ad2ant1 1074 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
12115a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
122 simp2 1054 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → 𝑘𝑋)
123 simp3 1055 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
12424, 40sseldi 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
1251243adant3 1073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
12624, 41sseldi 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
1271263adant3 1073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
128 ioo0 12023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) → (((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
129125, 127, 128syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
130123, 129mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅)
131 rspe 2981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑋 ∧ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅) → ∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅)
132122, 130, 131syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅)
133 ixp0 7800 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅)
135121, 134eqtrd 2639 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → 𝐼 = ∅)
136135fveq2d 6088 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘∅))
137 ne0i 3875 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑋𝑋 ≠ ∅)
138137adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
139138, 95syldan 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
1401393adant3 1073 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
141 eleq1 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑋𝑘𝑋))
142 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
143142, 70breq12d 4586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) ↔ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
144141, 1433anbi23d 1393 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ↔ (𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘))))
145144imbi1d 329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0) ↔ ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)))
146 nfv 1828 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
147593ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
148 volicore 39271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
14940, 41, 148syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
150149recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
1511503ad2antl1 1215 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
152 simp2 1054 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → 𝑗𝑋)
15353, 54oveq12d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗)))
154153fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))))
155154adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))))
1562ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
1577ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
158 volico 38676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
159156, 157, 158syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
1601593adant3 1073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
161 simp3 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
162157, 156lenltd 10030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) ↔ ¬ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)))
1631623adant3 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) ↔ ¬ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)))
164161, 163mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ¬ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗))
165164iffalsed 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0) = 0)
166160, 165eqtrd 2639 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = 0)
167166adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = 0)
168155, 167eqtrd 2639 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
169146, 147, 151, 152, 168fprodeq0g 14506 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
170145, 169chvarv 2245 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
171140, 170eqtrd 2639 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = 0)
172120, 136, 1713eqtr4d 2649 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
1731723exp 1255 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))))
174173adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))))
17537, 117, 174rexlimd 3003 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵)))
176175imp 443 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
177111, 176syldan 485 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
17897, 177pm2.61dan 827 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
17936, 178syldan 485 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
18034, 179pm2.61dan 827 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wral 2891  wrex 2892  wss 3535  c0 3869  ifcif 4031   class class class wbr 4573  cmpt 4633  dom cdm 5024  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  cmpt2 6525  𝑚 cmap 7717  Xcixp 7767  Fincfn 7814  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791  *cxr 9925   < clt 9926  cle 9927  cmin 10113   / cdiv 10529  cn 10863  (,)cioo 11998  [,)cico 12000  cprod 14416  volcvol 22952  volncvoln 39228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cc 9113  ax-ac2 9141  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-disj 4544  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-omul 7425  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-acn 8624  df-ac 8795  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-prod 14417  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-pws 15875  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-mhm 17100  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-mulg 17306  df-subg 17356  df-ghm 17423  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-cring 18315  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-dvr 18448  df-rnghom 18480  df-drng 18514  df-field 18515  df-subrg 18543  df-abv 18582  df-staf 18610  df-srng 18611  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lmhm 18785  df-lvec 18866  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-cnfld 19510  df-refld 19711  df-phl 19731  df-dsmm 19833  df-frlm 19848  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-cmp 20938  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874  df-nm 22134  df-ngp 22135  df-tng 22136  df-nrg 22137  df-nlm 22138  df-cncf 22416  df-clm 22598  df-cph 22696  df-tch 22697  df-rrx 22894  df-ovol 22953  df-vol 22954  df-salg 39005  df-sumge0 39056  df-mea 39143  df-ome 39180  df-caragen 39182  df-ovoln 39227  df-voln 39229
This theorem is referenced by:  vonn0ioo  39378
  Copyright terms: Public domain W3C validator