Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonioolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonioolem2 41216
 Description: The n-dimensional Lebesgue measure of open intervals. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonioolem2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonioolem2.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonioolem2.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonioolem2.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonioolem2.t ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
vonioolem2.i 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
vonioolem2.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
vonioolem2.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
Assertion
Ref Expression
vonioolem2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐵,𝑘,𝑛   𝐶,𝑘,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐼   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonioolem2
Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonioolem2.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21vonmea 41109 . . . 4 (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
3 1zzd 11446 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4 nnuz 11761 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
51adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
6 eqid 2651 . . . . . 6 dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
7 vonioolem2.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
98ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
10 nnrecre 11095 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1110ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
129, 11readdcld 10107 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
13 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
1412, 13fmptd 6425 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
15 vonioolem2.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))))
171mptexd 6528 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
1916, 18fvmpt2d 6332 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
2019feq1d 6068 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ ↔ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ))
2114, 20mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ)
22 vonioolem2.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
2322adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
245, 6, 21, 23hoimbl 41166 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom (voln‘𝑋))
25 vonioolem2.d . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
2624, 25fmptd 6425 . . . 4 (𝜑𝐷:ℕ⟶dom (voln‘𝑋))
27 nfv 1883 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑛 ∈ ℕ)
28 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
2928oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚)))
3029mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚))))
3130cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚))))
3215, 31eqtri 2673 . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚))))
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚)))))
34 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (1 / 𝑚) = (1 / (𝑛 + 1)))
3534oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚)) = ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1))))
3635mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1)))))
3736adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = (𝑛 + 1)) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1)))))
38 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
3938peano2nnd 11075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
405mptexd 6528 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1)))) ∈ V)
4133, 37, 39, 40fvmptd 6327 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶‘(𝑛 + 1)) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1)))))
42 ovexd 6720 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1))) ∈ V)
4341, 42fvmpt2d 6332 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1))))
44 1red 10093 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
45 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
4645, 44readdcld 10107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
47 peano2nn 11070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
48 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 + 1) ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ≠ 0)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ≠ 0)
5044, 46, 49redivcld 10891 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5150ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
529, 51readdcld 10107 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
5343, 52eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘) ∈ ℝ)
5453rexrd 10127 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘) ∈ ℝ*)
55 ressxr 10121 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
5622ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
5755, 56sseldi 3634 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
5857adantlr 751 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
5945ltp1d 10992 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 < (𝑛 + 1))
60 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
6147nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
6260, 61ltrecd 11928 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (1 / (𝑛 + 1)) < (1 / 𝑛)))
6359, 62mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (𝑛 + 1)) < (1 / 𝑛))
6450, 10, 63ltled 10223 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (𝑛 + 1)) ≤ (1 / 𝑛))
6564ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / (𝑛 + 1)) ≤ (1 / 𝑛))
6651, 11, 9, 65leadd2dd 10680 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1))) ≤ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
67 ovexd 6720 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
6819, 67fvmpt2d 6332 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
6943, 68breq12d 4698 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘) ≤ ((𝐶𝑛)‘𝑘) ↔ ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1))) ≤ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
7066, 69mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘) ≤ ((𝐶𝑛)‘𝑘))
7156adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
72 eqidd 2652 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑘))
7371, 72eqled 10178 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
74 icossico 12281 . . . . . . 7 (((((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) ∧ (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘) ≤ ((𝐶𝑛)‘𝑘) ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐵𝑘))) → (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
7554, 58, 70, 73, 74syl22anc 1367 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
7627, 75ixpssixp 39583 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ X𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
7725a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
7824elexd 3245 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V)
7977, 78fvmpt2d 6332 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
80 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (𝐶𝑛) = (𝐶𝑚))
8180fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐶𝑚)‘𝑘))
8281oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = (((𝐶𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
8382ixpeq2dv 7966 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = X𝑘𝑋 (((𝐶𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
8483cbvmptv 4783 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
8525, 84eqtri 2673 . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
8685a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
87 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝐶𝑚) = (𝐶‘(𝑛 + 1)))
8887fveq1d 6231 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝐶𝑚)‘𝑘) = ((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘))
8988oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝐶𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9089ixpeq2dv 7966 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛 + 1) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = X𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9190adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = (𝑛 + 1)) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = X𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
92 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V
9392rgenw 2953 . . . . . . . . 9 𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V
94 ixpexg 7974 . . . . . . . . 9 (∀𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V → X𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V)
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . 8 X𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V
9695a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V)
9786, 91, 39, 96fvmptd 6327 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘(𝑛 + 1)) = X𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9879, 97sseq12d 3667 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛) ⊆ (𝐷‘(𝑛 + 1)) ↔ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ X𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
9976, 98mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ⊆ (𝐷‘(𝑛 + 1)))
1001, 6, 7, 22hoimbl 41166 . . . . 5 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom (voln‘𝑋))
101 nfv 1883 . . . . . 6 𝑘𝜑
1027ffvelrnda 6399 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
103101, 1, 102, 56vonhoire 41207 . . . . 5 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
104 vonioolem2.i . . . . . . 7 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
105104a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
106 nftru 1770 . . . . . . . . 9 𝑘
107 ioossico 12300 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) ⊆ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))
108107a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) ⊆ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
109106, 108ixpssixp 39583 . . . . . . . 8 (⊤ → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
110109trud 1533 . . . . . . 7 X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))
111110a1i 11 . . . . . 6 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
112105, 111eqsstrd 3672 . . . . 5 (𝜑𝐼X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
11355a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
1147, 113fssd 6095 . . . . . . 7 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
11522, 113fssd 6095 . . . . . . 7 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
1161, 6, 114, 115ioovonmbl 41212 . . . . . 6 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) ∈ dom (voln‘𝑋))
117104, 116syl5eqel 2734 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ dom (voln‘𝑋))
1182, 100, 103, 112, 117meassre 41012 . . . 4 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) ∈ ℝ)
1192adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
12079, 24eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ dom (voln‘𝑋))
121117adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ dom (voln‘𝑋))
12255, 102sseldi 3634 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
123122adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
12460rpreccld 11920 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
125124ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1269, 125ltaddrpd 11943 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
127 icossioo 12302 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴𝑘) < ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐵𝑘))) → (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
128123, 58, 126, 73, 127syl22anc 1367 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
12927, 128ixpssixp 39583 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)) ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
13068oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)))
131130ixpeq2dva 7965 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = X𝑘𝑋 (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)))
13279, 131eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = X𝑘𝑋 (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)))
133104a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
134132, 133sseq12d 3667 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛) ⊆ 𝐼X𝑘𝑋 (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)) ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))))
135129, 134mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ⊆ 𝐼)
136119, 6, 120, 121, 135meassle 40998 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) ≤ ((voln‘𝑋)‘𝐼))
137 eqid 2651 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
1382, 3, 4, 26, 99, 118, 136, 137meaiuninc2 41017 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ⇝ ((voln‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐷𝑛)))
139101, 1, 102, 57iunhoiioo 41211 . . . . . . 7 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)) = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
140132iuneq2dv 4574 . . . . . . 7 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐷𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)))
141139, 140, 1053eqtr4d 2695 . . . . . 6 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐷𝑛) = 𝐼)
142141eqcomd 2657 . . . . 5 (𝜑𝐼 = 𝑛 ∈ ℕ (𝐷𝑛))
143142fveq2d 6233 . . . 4 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐷𝑛)))
144143eqcomd 2657 . . 3 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐷𝑛)) = ((voln‘𝑋)‘𝐼))
145138, 144breqtrd 4711 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ⇝ ((voln‘𝑋)‘𝐼))
146 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝐷𝑛) = (𝐷𝑚))
147146fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) = ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑚)))
148147cbvmptv 4783 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑚)))
149148a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑚))))
150 vonioolem2.n . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
151 vonioolem2.t . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
152148eqcomi 2660 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑚))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
153 eqcom 2658 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚𝑚 = 𝑛)
154153imbi1i 338 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑚 → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐶𝑚)‘𝑘)) ↔ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐶𝑚)‘𝑘)))
155 eqcom 2658 . . . . . . . . . 10 (((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐶𝑚)‘𝑘) ↔ ((𝐶𝑚)‘𝑘) = ((𝐶𝑛)‘𝑘))
156155imbi2i 325 . . . . . . . . 9 ((𝑚 = 𝑛 → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐶𝑚)‘𝑘)) ↔ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐶𝑚)‘𝑘) = ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
157154, 156bitri 264 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑚 → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐶𝑚)‘𝑘)) ↔ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐶𝑚)‘𝑘) = ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
15881, 157mpbi 220 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐶𝑚)‘𝑘) = ((𝐶𝑛)‘𝑘))
159158oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑚)‘𝑘)) = ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
160159prodeq2ad 40142 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑚)‘𝑘)) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
161160cbvmptv 4783 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑚)‘𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
162 eqid 2651 . . . 4 inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < )
163 eqid 2651 . . . 4 ((⌊‘(1 / inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ))) + 1) = ((⌊‘(1 / inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ))) + 1)
164 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
165 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
166164, 165oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
167166cbvmptv 4783 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
168167rneqi 5384 . . . . . . . . 9 ran (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗))) = ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
169168infeq1i 8425 . . . . . . . 8 inf(ran (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < )
170169oveq2i 6701 . . . . . . 7 (1 / inf(ran (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗))), ℝ, < )) = (1 / inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ))
171170fveq2i 6232 . . . . . 6 (⌊‘(1 / inf(ran (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗))), ℝ, < ))) = (⌊‘(1 / inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < )))
172171oveq1i 6700 . . . . 5 ((⌊‘(1 / inf(ran (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗))), ℝ, < ))) + 1) = ((⌊‘(1 / inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ))) + 1)
173172fveq2i 6232 . . . 4 (ℤ‘((⌊‘(1 / inf(ran (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗))), ℝ, < ))) + 1)) = (ℤ‘((⌊‘(1 / inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ))) + 1))
1741, 7, 22, 150, 151, 15, 25, 152, 161, 162, 163, 173vonioolem1 41215 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑚))) ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
175149, 174eqbrtrd 4707 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
176 climuni 14327 . 2 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ⇝ ((voln‘𝑋)‘𝐼) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
177145, 175, 176syl2anc 694 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ∪ ciun 4552   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Xcixp 7950  Fincfn 7997  infcinf 8388  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  ℤ≥cuz 11725  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  ⌊cfl 12631   ⇝ cli 14259  ∏cprod 14679  Meascmea 40984  volncvoln 41073 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-pws 16157  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-field 18798  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-staf 18893  df-srng 18894  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-phl 20019  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-tng 22436  df-nrg 22437  df-nlm 22438  df-cncf 22728  df-clm 22909  df-cph 23014  df-tch 23015  df-rrx 23219  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-salg 40847  df-sumge0 40898  df-mea 40985  df-ome 41025  df-caragen 41027  df-ovoln 41072  df-voln 41074 This theorem is referenced by:  vonioo  41217
 Copyright terms: Public domain W3C validator