Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0icc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonn0icc2 39383
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval, when the dimension of the space is nonzero. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0icc2.k 𝑘𝜑
vonn0icc2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonn0icc2.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonn0icc2.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonn0icc2.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
vonn0icc2.i 𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵)
Assertion
Ref Expression
vonn0icc2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonn0icc2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0icc2.i . . . . 5 𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵)
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
3 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
4 vonn0icc2.k . . . . . . . . . . 11 𝑘𝜑
5 nfv 1828 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑗𝑋
64, 5nfan 1814 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑗𝑋)
7 nfcsb1v 3510 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
8 nfcv 2746 . . . . . . . . . . 11 𝑘
97, 8nfel 2758 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ
106, 9nfim 1811 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
11 eleq1 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑋𝑗𝑋))
1211anbi2d 735 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑋) ↔ (𝜑𝑗𝑋)))
13 csbeq1a 3503 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1413eleq1d 2667 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ))
1512, 14imbi12d 332 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)))
16 vonn0icc2.a . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1710, 15, 16chvar 2244 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
18 eqid 2605 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑋𝐴) = (𝑘𝑋𝐴)
1918fvmpts 6175 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
203, 17, 19syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
21 nfcsb1v 3510 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
2221, 8nfel 2758 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
236, 22nfim 1811 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
24 csbeq1a 3503 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
2524eleq1d 2667 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
2612, 25imbi12d 332 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
27 vonn0icc2.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
2823, 26, 27chvar 2244 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
29 eqid 2605 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑋𝐵) = (𝑘𝑋𝐵)
3029fvmpts 6175 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
313, 28, 30syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3220, 31oveq12d 6541 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵))
3332ixpeq2dva 7782 . . . . 5 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵))
34 nfcv 2746 . . . . . . . 8 𝑘[,]
357, 34, 21nfov 6549 . . . . . . 7 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)
36 nfcv 2746 . . . . . . 7 𝑗(𝐴[,]𝐵)
3713equcoms 1932 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3837eqcomd 2611 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐴)
39 eqidd 2606 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝐴 = 𝐴)
4038, 39eqtrd 2639 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐴)
4124equcoms 1932 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4241eqcomd 2611 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐵)
4340, 42oveq12d 6541 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵) = (𝐴[,]𝐵))
4435, 36, 43cbvixp 7784 . . . . . 6 X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵)
4544a1i 11 . . . . 5 (𝜑X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
4633, 45eqtrd 2639 . . . 4 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
472, 46eqtr4d 2642 . . 3 (𝜑𝐼 = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)))
4847fveq2d 6088 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
49 vonn0icc2.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
50 vonn0icc2.n . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
514, 16, 18fmptdf 6275 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
524, 27, 29fmptdf 6275 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
53 eqid 2605 . . 3 X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))
5449, 50, 51, 52, 53vonn0icc 39379 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
5532fveq2d 6088 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)))
5655prodeq2dv 14434 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)))
5743fveq2d 6088 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)) = (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
58 nfcv 2746 . . . . 5 𝑘𝑋
59 nfcv 2746 . . . . 5 𝑗𝑋
60 nfcv 2746 . . . . . 6 𝑘vol
6160, 35nffv 6091 . . . . 5 𝑘(vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵))
62 nfcv 2746 . . . . 5 𝑗(vol‘(𝐴[,]𝐵))
6357, 58, 59, 61, 62cbvprod 14426 . . . 4 𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,]𝐵))
6463a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
6556, 64eqtrd 2639 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
6648, 54, 653eqtrd 2643 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wnf 1698  wcel 1975  wne 2775  csb 3494  c0 3869  cmpt 4633  cfv 5786  (class class class)co 6523  Xcixp 7767  Fincfn 7814  cr 9787  [,]cicc 12001  cprod 14416  volcvol 22952  volncvoln 39228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cc 9113  ax-ac2 9141  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-disj 4544  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-omul 7425  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-acn 8624  df-ac 8795  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-prod 14417  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-pws 15875  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-mhm 17100  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-mulg 17306  df-subg 17356  df-ghm 17423  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-cring 18315  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-dvr 18448  df-rnghom 18480  df-drng 18514  df-field 18515  df-subrg 18543  df-abv 18582  df-staf 18610  df-srng 18611  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lmhm 18785  df-lvec 18866  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-cnfld 19510  df-refld 19711  df-phl 19731  df-dsmm 19833  df-frlm 19848  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-cmp 20938  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874  df-nm 22134  df-ngp 22135  df-tng 22136  df-nrg 22137  df-nlm 22138  df-cncf 22416  df-clm 22598  df-cph 22696  df-tch 22697  df-rrx 22894  df-ovol 22953  df-vol 22954  df-salg 39005  df-sumge0 39056  df-mea 39143  df-ome 39180  df-caragen 39182  df-ovoln 39227  df-voln 39229
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator