Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0ioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonn0ioo 39382
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval when the dimension of the space is nonzero. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0ioo.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonn0ioo.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonn0ioo.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonn0ioo.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonn0ioo.i 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
Assertion
Ref Expression
vonn0ioo (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonn0ioo
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0ioo.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 vonn0ioo.a . . . 4 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
3 vonn0ioo.b . . . 4 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
4 vonn0ioo.i . . . 4 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
5 fveq2 6088 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑎𝑗) = (𝑎𝑘))
6 fveq2 6088 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑏𝑗) = (𝑏𝑘))
75, 6oveq12d 6545 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗)) = ((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))
87fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))) = (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))
98cbvprodv 14431 . . . . . . . 8 𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))) = ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))
10 ifeq2 4040 . . . . . . . 8 (∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))) = ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))) → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥)) → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))
1312mpt2eq3ia 6596 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))))) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))
1413mpteq2i 4663 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
151, 2, 3, 4, 14vonioo 39377 . . 3 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))))))‘𝑋)𝐵))
1614fveq1i 6089 . . . . 5 ((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))))))‘𝑋) = ((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))‘𝑋)
1716oveqi 6540 . . . 4 (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))))))‘𝑋)𝐵) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))‘𝑋)𝐵)
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))))))‘𝑋)𝐵) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))‘𝑋)𝐵))
1915, 18eqtrd 2643 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))‘𝑋)𝐵))
20 eqid 2609 . . 3 (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
21 vonn0ioo.n . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
2220, 1, 21, 2, 3hoidmvn0val 39278 . 2 (𝜑 → (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
2319, 22eqtrd 2643 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  c0 3873  ifcif 4035  cmpt 4637  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cmpt2 6529  𝑚 cmap 7721  Xcixp 7771  Fincfn 7818  cr 9791  0cc0 9792  (,)cioo 12002  [,)cico 12004  cprod 14420  volcvol 22956  volncvoln 39232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cc 9117  ax-ac2 9145  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-ac 8799  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-prod 14421  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-pws 15879  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-rnghom 18484  df-drng 18518  df-field 18519  df-subrg 18547  df-abv 18586  df-staf 18614  df-srng 18615  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lmhm 18789  df-lvec 18870  df-sra 18939  df-rgmod 18940  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-refld 19715  df-phl 19735  df-dsmm 19837  df-frlm 19852  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-nm 22138  df-ngp 22139  df-tng 22140  df-nrg 22141  df-nlm 22142  df-cncf 22420  df-clm 22602  df-cph 22700  df-tch 22701  df-rrx 22898  df-ovol 22957  df-vol 22958  df-salg 39009  df-sumge0 39060  df-mea 39147  df-ome 39184  df-caragen 39186  df-ovoln 39231  df-voln 39233
This theorem is referenced by:  vonn0ioo2  39385
  Copyright terms: Public domain W3C validator