Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvol 39349
Description: The 1-dimensional Lebesgue measure agrees with the Lebesgue measure on subsets of Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvol.a (𝜑𝐴𝑉)
vonvol.b (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
Assertion
Ref Expression
vonvol (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘(𝐵𝑚 {𝐴})) = (vol‘𝐵))

Proof of Theorem vonvol
StepHypRef Expression
1 vonvol.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 vonvol.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
3 mblss 23023 . . . 4 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
51, 4ovnovol 39346 . 2 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝐵𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝐵))
6 snfi 7900 . . . 4 {𝐴} ∈ Fin
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
81, 4vonvolmbl 39348 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))
92, 8mpbird 245 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}))
107, 9mblvon 39326 . 2 (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘(𝐵𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝐵𝑚 {𝐴})))
11 mblvol 23022 . . 3 (𝐵 ∈ dom vol → (vol‘𝐵) = (vol*‘𝐵))
122, 11syl 17 . 2 (𝜑 → (vol‘𝐵) = (vol*‘𝐵))
135, 10, 123eqtr4d 2653 1 (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘(𝐵𝑚 {𝐴})) = (vol‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3539  {csn 4124  dom cdm 5028  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818  cr 9791  vol*covol 22955  volcvol 22956  voln*covoln 39223  volncvoln 39225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cc 9117  ax-ac2 9145  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-ac 8799  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-prod 14421  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-rest 15852  df-0g 15871  df-topgen 15873  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-subg 17360  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-cmp 20942  df-ovol 22957  df-vol 22958  df-sumge0 39053  df-ome 39177  df-caragen 39179  df-ovoln 39224  df-voln 39226
This theorem is referenced by:  vonvol2  39351
  Copyright terms: Public domain W3C validator