Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvolmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvolmbllem 39351
Description: If a subset 𝐵 of real numbers is Lebesgue measurable, then its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure, (with 𝑛 equal to 1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvolmbllem.a (𝜑𝐴𝑉)
vonvolmbllem.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
vonvolmbllem.e (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
vonvolmbllem.x (𝜑𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
vonvolmbllem.y 𝑌 = 𝑓𝑋 ran 𝑓
Assertion
Ref Expression
vonvolmbllem (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑦,𝐵   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑦,𝑌   𝜑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑓)   𝑉(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem vonvolmbllem
StepHypRef Expression
1 nfcv 2747 . . . . . . . 8 𝑓𝑌
2 vonvolmbllem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
3 vonvolmbllem.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
4 vonvolmbllem.y . . . . . . . 8 𝑌 = 𝑓𝑋 ran 𝑓
51, 2, 3, 4ssmapsn 38203 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = (𝑌𝑚 {𝐴}))
65ineq1d 3771 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})))
7 reex 9880 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
93sselda 3564 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
10 elmapi 7739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
12 frn 5949 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{𝐴}⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1413ralrimiva 2945 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
15 iunss 4488 . . . . . . . . . 10 ( 𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1614, 15sylibr 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
174, 16syl5eqss 3608 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
188, 17ssexd 4725 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ V)
19 vonvolmbllem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
208, 19ssexd 4725 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ V)
21 snex 4827 . . . . . . . 8 {𝐴} ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
2318, 20, 22inmap 38196 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
246, 23eqtrd 2640 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
2524fveq2d 6089 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})))
2617ssinss1d 38039 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐵) ⊆ ℝ)
272, 26ovnovol 39350 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
2825, 27eqtrd 2640 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
295difeq1d 3685 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))
3018, 20, 2difmapsn 38199 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
3129, 30eqtrd 2640 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
3231fveq2d 6089 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})))
3317ssdifssd 3706 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐵) ⊆ ℝ)
342, 33ovnovol 39350 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
3532, 34eqtrd 2640 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
3628, 35oveq12d 6542 . 2 (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
375fveq2d 6089 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌𝑚 {𝐴})))
382, 17ovnovol 39350 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑌))
3918, 17elpwd 38064 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ 𝒫 ℝ)
40 vonvolmbllem.e . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
41 fveq2 6085 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘𝑦) = (vol*‘𝑌))
42 ineq1 3765 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦𝐵) = (𝑌𝐵))
4342fveq2d 6089 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦𝐵)) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
44 difeq1 3679 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦𝐵) = (𝑌𝐵))
4544fveq2d 6089 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦𝐵)) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
4643, 45oveq12d 6542 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
4741, 46eqeq12d 2621 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))) ↔ (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵)))))
4847rspcva 3276 . . . 4 ((𝑌 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
4939, 40, 48syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
5037, 38, 493eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
5136, 50eqtr4d 2643 1 (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2892  Vcvv 3169  cdif 3533  cin 3535  wss 3536  𝒫 cpw 4104  {csn 4121   ciun 4446  ran crn 5026  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  𝑚 cmap 7718  cr 9788   +𝑒 cxad 11773  vol*covol 22952  voln*covoln 39227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-prod 14418  df-rest 15849  df-topgen 15870  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-cmp 20939  df-ovol 22954  df-vol 22955  df-sumge0 39057  df-ovoln 39228
This theorem is referenced by:  vonvolmbl  39352
  Copyright terms: Public domain W3C validator