MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vr1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vr1cl 19354
Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vr1cl.x 𝑋 = (var1𝑅)
vr1cl.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
vr1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
vr1cl (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)

Proof of Theorem vr1cl
StepHypRef Expression
1 vr1cl.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
21vr1val 19329 . 2 𝑋 = ((1𝑜 mVar 𝑅)‘∅)
3 eqid 2609 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
4 eqid 2609 . . 3 (1𝑜 mVar 𝑅) = (1𝑜 mVar 𝑅)
5 vr1cl.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 eqid 2609 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
7 vr1cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
85, 6, 7ply1bas 19332 . . 3 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
9 1onn 7583 . . . 4 1𝑜 ∈ ω
109a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1𝑜 ∈ ω)
11 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
12 0lt1o 7448 . . . 4 ∅ ∈ 1𝑜
1312a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1𝑜)
143, 4, 8, 10, 11, 13mvrcl 19216 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((1𝑜 mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
152, 14syl5eqel 2691 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  c0 3873  cfv 5790  (class class class)co 6527  ωcom 6934  1𝑜c1o 7417  Basecbs 15641  Ringcrg 18316   mVar cmvr 19119   mPoly cmpl 19120  PwSer1cps1 19312  var1cv1 19313  Poly1cpl1 19314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-tset 15733  df-ple 15734  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-psr 19123  df-mvr 19124  df-mpl 19125  df-opsr 19127  df-psr1 19317  df-vr1 19318  df-ply1 19319
This theorem is referenced by:  ply1moncl  19408  coe1pwmul  19416  ply1scltm  19418  ply1coefsupp  19432  ply1coe  19433  gsummoncoe1  19441  lply1binom  19443  evls1varpw  19458  evl1var  19467  evl1vard  19468  evls1var  19469  pf1id  19478  evl1scvarpw  19494  evl1scvarpwval  19495  evl1gsummon  19496  pmatcollpwscmatlem1  20355  mply1topmatcllem  20369  mply1topmatcl  20371  pm2mpghm  20382  monmat2matmon  20390  pm2mp  20391  chmatcl  20394  chmatval  20395  chpmat0d  20400  chpmat1dlem  20401  chpmat1d  20402  chpdmatlem0  20403  chpdmatlem2  20405  chpdmatlem3  20406  chpscmat  20408  chpscmatgsumbin  20410  chpscmatgsummon  20411  chp0mat  20412  chpidmat  20413  chfacfscmulcl  20423  chfacfscmul0  20424  chfacfscmulgsum  20426  cpmadugsumlemB  20440  cpmadugsumlemC  20441  cpmadugsumlemF  20442  cpmadugsumfi  20443  cpmidgsum2  20445  deg1pw  23601  ply1remlem  23643  fta1blem  23649  plypf1  23689  lgsqrlem2  24789  lgsqrlem3  24790  lgsqrlem4  24791  hbtlem4  36518  idomrootle  36595  ply1vr1smo  41965  ply1mulgsumlem4  41973  ply1mulgsum  41974  linply1  41977
  Copyright terms: Public domain W3C validator