Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vrgpf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vrgpf 18105
 Description: The mapping from the index set to the generators is a function into the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vrgpfval.r = ( ~FG𝐼)
vrgpfval.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
vrgpf.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vrgpf (𝐼𝑉𝑈:𝐼𝑋)

Proof of Theorem vrgpf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4752 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
21prid1 4269 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
3 df2o3 7521 . . . . . . . . 9 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
42, 3eleqtrri 2697 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 2𝑜
5 opelxpi 5110 . . . . . . . 8 ((𝑗𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
64, 5mpan2 706 . . . . . . 7 (𝑗𝐼 → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
76adantl 482 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
87s1cld 13325 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
9 2on 7516 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ On
10 xpexg 6916 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
119, 10mpan2 706 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
1211adantr 481 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
13 wrdexg 13257 . . . . . 6 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
14 fvi 6214 . . . . . 6 (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1512, 13, 143syl 18 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
168, 15eleqtrrd 2701 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
17 vrgpf.m . . . . 5 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
18 vrgpfval.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
19 eqid 2621 . . . . 5 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
20 vrgpf.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
2117, 18, 19, 20frgpeccl 18098 . . . 4 (⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] 𝑋)
2216, 21syl 17 . . 3 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] 𝑋)
23 eqid 2621 . . 3 (𝑗𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ) = (𝑗𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] )
2422, 23fmptd 6343 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑗𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ):𝐼𝑋)
25 vrgpfval.u . . . 4 𝑈 = (varFGrp𝐼)
2618, 25vrgpfval 18103 . . 3 (𝐼𝑉𝑈 = (𝑗𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ))
2726feq1d 5989 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑈:𝐼𝑋 ↔ (𝑗𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ):𝐼𝑋))
2824, 27mpbird 247 1 (𝐼𝑉𝑈:𝐼𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  ∅c0 3893  {cpr 4152  ⟨cop 4156   ↦ cmpt 4675   I cid 4986   × cxp 5074  Oncon0 5684  ⟶wf 5845  ‘cfv 5849  1𝑜c1o 7501  2𝑜c2o 7502  [cec 7688  Word cword 13233  ⟨“cs1 13236  Basecbs 15784   ~FG cefg 18043  freeGrpcfrgp 18044  varFGrpcvrgp 18045 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-ec 7692  df-qs 7696  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-inf 8296  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-hash 13061  df-word 13241  df-s1 13244  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-imas 16092  df-qus 16093  df-frmd 17310  df-frgp 18047  df-vrgp 18048 This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18114  frgpup3  18115  0frgp  18116  frgpnabllem2  18201  frgpnabl  18202  frgpcyg  19844
 Copyright terms: Public domain W3C validator