MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vrgpinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vrgpinv 18382
Description: The inverse of a generating element is represented by 𝐴, 1⟩ instead of 𝐴, 0⟩. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vrgpfval.r = ( ~FG𝐼)
vrgpfval.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
vrgpf.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
vrgpinv ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘(𝑈𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩] )

Proof of Theorem vrgpinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vrgpfval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
2 vrgpfval.u . . . 4 𝑈 = (varFGrp𝐼)
31, 2vrgpval 18380 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑈𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
43fveq2d 6356 . 2 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘(𝑈𝐴)) = (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ))
5 simpr 479 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐴𝐼)
6 0ex 4942 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
76prid1 4441 . . . . . . 7 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
8 df2o3 7742 . . . . . . 7 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
97, 8eleqtrri 2838 . . . . . 6 ∅ ∈ 2𝑜
10 opelxpi 5305 . . . . . 6 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
115, 9, 10sylancl 697 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
1211s1cld 13573 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
13 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐼𝑉)
14 2on 7737 . . . . . 6 2𝑜 ∈ On
15 xpexg 7125 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
1613, 14, 15sylancl 697 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
17 wrdexg 13501 . . . . 5 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
18 fvi 6417 . . . . 5 (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1916, 17, 183syl 18 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
2012, 19eleqtrrd 2842 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
21 eqid 2760 . . . 4 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
22 vrgpf.m . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
23 vrgpinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
24 eqid 2760 . . . 4 (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) = (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)
2521, 22, 1, 23, 24frgpinv 18377 . . 3 (⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = [((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] )
2620, 25syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = [((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] )
27 revs1 13714 . . . . . 6 (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩
2827a1i 11 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
2928coeq2d 5440 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
3024efgmf 18326 . . . . 5 (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩):(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)
31 s1co 13779 . . . . 5 ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩):(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
3211, 30, 31sylancl 697 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
3324efgmval 18325 . . . . . . 7 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → (𝐴(𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1𝑜 ∖ ∅)⟩)
345, 9, 33sylancl 697 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝐴(𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1𝑜 ∖ ∅)⟩)
35 df-ov 6816 . . . . . 6 (𝐴(𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)∅) = ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)
36 dif0 4093 . . . . . . 7 (1𝑜 ∖ ∅) = 1𝑜
3736opeq2i 4557 . . . . . 6 𝐴, (1𝑜 ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐴, 1𝑜
3834, 35, 373eqtr3g 2817 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩) = ⟨𝐴, 1𝑜⟩)
3938s1eqd 13571 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨“((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩)
4029, 32, 393eqtrd 2798 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩)
4140eceq1d 7950 . 2 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → [((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] = [⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩] )
424, 26, 413eqtrd 2798 1 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘(𝑈𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cdif 3712  c0 4058  {cpr 4323  cop 4327   I cid 5173   × cxp 5264  ccom 5270  Oncon0 5884  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  1𝑜c1o 7722  2𝑜c2o 7723  [cec 7909  Word cword 13477  ⟨“cs1 13480  reversecreverse 13483  invgcminusg 17624   ~FG cefg 18319  freeGrpcfrgp 18320  varFGrpcvrgp 18321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-lsw 13486  df-concat 13487  df-s1 13488  df-substr 13489  df-splice 13490  df-reverse 13491  df-s2 13793  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-0g 16304  df-imas 16370  df-qus 16371  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-frmd 17587  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-efg 18322  df-frgp 18323  df-vrgp 18324
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18390
  Copyright terms: Public domain W3C validator