Theorem vrgpinv 18382

Description: The inverse of a generating element is represented by ⟨𝐴, 1⟩ instead of ⟨𝐴, 0⟩. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vrgpfval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
vrgpfval.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
vrgpf.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vrgpinv	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩] ∼ )

Proof of Theorem vrgpinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vrgpfval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
2		vrgpfval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
3	1, 2	vrgpval 18380	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
4	3	fveq2d 6356	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
5		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐼)
6		0ex 4942	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	prid1 4441	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
8		df2o3 7742	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
9	7, 8	eleqtrri 2838	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2𝑜
10		opelxpi 5305	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
11	5, 9, 10	sylancl 697	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
12	11	s1cld 13573	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
13		simpl 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
14		2on 7737	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 ∈ On
15		xpexg 7125	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
16	13, 14, 15	sylancl 697	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
17		wrdexg 13501	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
18		fvi 6417	. . . . 5 ⊢ (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
20	12, 19	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
21		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
22		vrgpf.m	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
23		vrgpinv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
24		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) = (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)
25	21, 22, 1, 23, 24	frgpinv 18377	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ )
26	20, 25	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ )
27		revs1 13714	. . . . . 6 ⊢ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
29	28	coeq2d 5440	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
30	24	efgmf 18326	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩):(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)
31		s1co 13779	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩):(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
32	11, 30, 31	sylancl 697	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
33	24	efgmval 18325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1𝑜 ∖ ∅)⟩)
34	5, 9, 33	sylancl 697	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1𝑜 ∖ ∅)⟩)
35		df-ov 6816	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)∅) = ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)
36		dif0 4093	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑜 ∖ ∅) = 1𝑜
37	36	opeq2i 4557	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐴, (1𝑜 ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐴, 1𝑜⟩
38	34, 35, 37	3eqtr3g 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩) = ⟨𝐴, 1𝑜⟩)
39	38	s1eqd 13571	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩)
40	29, 32, 39	3eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩)
41	40	eceq1d 7950	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ = [⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩] ∼ )
42	4, 26, 41	3eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712  ∅c0 4058  {cpr 4323  ⟨cop 4327   I cid 5173   × cxp 5264   ∘ ccom 5270  Oncon0 5884  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↦ cmpt2 6815  1_𝑜c1o 7722  2_𝑜c2o 7723  [cec 7909  Word cword 13477  ⟨“cs1 13480  reversecreverse 13483  inv_gcminusg 17624   ~_FG cefg 18319  freeGrpcfrgp 18320  var_FGrpcvrgp 18321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-lsw 13486  df-concat 13487  df-s1 13488  df-substr 13489  df-splice 13490  df-reverse 13491  df-s2 13793  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-0g 16304  df-imas 16370  df-qus 16371  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-frmd 17587  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-efg 18322  df-frgp 18323  df-vrgp 18324

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18390