MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vrgpinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vrgpinv 18103
Description: The inverse of a generating element is represented by 𝐴, 1⟩ instead of 𝐴, 0⟩. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vrgpfval.r = ( ~FG𝐼)
vrgpfval.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
vrgpf.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
vrgpinv ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘(𝑈𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩] )

Proof of Theorem vrgpinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vrgpfval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
2 vrgpfval.u . . . 4 𝑈 = (varFGrp𝐼)
31, 2vrgpval 18101 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑈𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
43fveq2d 6152 . 2 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘(𝑈𝐴)) = (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ))
5 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐴𝐼)
6 0ex 4750 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
76prid1 4267 . . . . . . 7 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
8 df2o3 7518 . . . . . . 7 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
97, 8eleqtrri 2697 . . . . . 6 ∅ ∈ 2𝑜
10 opelxpi 5108 . . . . . 6 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
115, 9, 10sylancl 693 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
1211s1cld 13322 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
13 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐼𝑉)
14 2on 7513 . . . . . 6 2𝑜 ∈ On
15 xpexg 6913 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
1613, 14, 15sylancl 693 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
17 wrdexg 13254 . . . . 5 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
18 fvi 6212 . . . . 5 (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1916, 17, 183syl 18 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
2012, 19eleqtrrd 2701 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
21 eqid 2621 . . . 4 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
22 vrgpf.m . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
23 vrgpinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
24 eqid 2621 . . . 4 (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) = (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)
2521, 22, 1, 23, 24frgpinv 18098 . . 3 (⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = [((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] )
2620, 25syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = [((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] )
27 revs1 13451 . . . . . 6 (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩
2827a1i 11 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
2928coeq2d 5244 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
3024efgmf 18047 . . . . 5 (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩):(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)
31 s1co 13516 . . . . 5 ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩):(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
3211, 30, 31sylancl 693 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
3324efgmval 18046 . . . . . . 7 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → (𝐴(𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1𝑜 ∖ ∅)⟩)
345, 9, 33sylancl 693 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝐴(𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1𝑜 ∖ ∅)⟩)
35 df-ov 6607 . . . . . 6 (𝐴(𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)∅) = ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)
36 dif0 3924 . . . . . . 7 (1𝑜 ∖ ∅) = 1𝑜
3736opeq2i 4374 . . . . . 6 𝐴, (1𝑜 ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐴, 1𝑜
3834, 35, 373eqtr3g 2678 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩) = ⟨𝐴, 1𝑜⟩)
3938s1eqd 13320 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨“((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩)
4029, 32, 393eqtrd 2659 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩)
4140eceq1d 7728 . 2 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → [((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] = [⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩] )
424, 26, 413eqtrd 2659 1 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘(𝑈𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cdif 3552  c0 3891  {cpr 4150  cop 4154   I cid 4984   × cxp 5072  ccom 5078  Oncon0 5682  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  1𝑜c1o 7498  2𝑜c2o 7499  [cec 7685  Word cword 13230  ⟨“cs1 13233  reversecreverse 13236  invgcminusg 17344   ~FG cefg 18040  freeGrpcfrgp 18041  varFGrpcvrgp 18042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-splice 13243  df-reverse 13244  df-s2 13530  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-0g 16023  df-imas 16089  df-qus 16090  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-frmd 17307  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-efg 18043  df-frgp 18044  df-vrgp 18045
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18111
  Copyright terms: Public domain W3C validator