Theorem vtoclrbr 3208

Description: Variable to class conversion of transitive, reflexive relation.

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclr.1	⊢ Rel R
vtoclr.2	⊢ ((xRy ⋀ yRz) → xRz)
vtoclrbr.3	⊢ xRx

Assertion

Ref	Expression
vtoclrbr	⊢ ((ARB ⋀ BRC) → ARC)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,z,C,y   x,R,y,z

Proof of Theorem vtoclrbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtoclr.1	. . 3 ⊢ Rel R
2		vtoclr.2	. . 3 ⊢ ((xRy ⋀ yRz) → xRz)
3	1, 2	vtoclr 3207	. 2 ⊢ (C ∈ V → ((ARB ⋀ BRC) → ARC))
4		brprc 2657	. . . . 5 ⊢ (¬ C ∈ V → (ARC ↔ ARA))
5		breq1 2618	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (xRx ↔ ARx))
6		breq2 2619	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (ARx ↔ ARA))
7	5, 6	bitrd 527	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (xRx ↔ ARA))
8		vtoclrbr.3	. . . . . 6 ⊢ xRx
9	7, 8	vtoclg 1844	. . . . 5 ⊢ (A ∈ V → ARA)
10	4, 9	syl5bir 210	. . . 4 ⊢ (¬ C ∈ V → (A ∈ V → ARC))
11	1	brrelexi 3204	. . . 4 ⊢ (ARB → A ∈ V)
12	10, 11	syl5 21	. . 3 ⊢ (¬ C ∈ V → (ARB → ARC))
13	12	adantrd 391	. 2 ⊢ (¬ C ∈ V → ((ARB ⋀ BRC) → ARC))
14	3, 13	pm2.61i 126	1 ⊢ ((ARB ⋀ BRC) → ARC)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 955   ∈ wcel 957  Vcvv 1808   class class class wbr 2615  Rel wrel 3171

This theorem is referenced by:  entrt 4404  domtr 4405

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-br 2616  df-opab 2663  df-xp 3180  df-rel 3181

Copyright terms: Public domain