MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdginducedm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdginducedm1 26495
Description: The degree of a vertex 𝑣 in the induced subgraph 𝑆 of a pseudograph 𝐺 obtained by removing one vertex 𝑁 plus the number of edges joining the vertex 𝑣 and the vertex 𝑁 is the degree of the vertex 𝑣 in the pseudograph 𝐺. (Contributed by AV, 17-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdginducedm1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
vtxdginducedm1.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
vtxdginducedm1.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
vtxdginducedm1.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
vtxdginducedm1 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (#‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁   𝐸,𝑙   𝐽,𝑙   𝑣,𝑙
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑆(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐸(𝑣)   𝐺(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐼(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐽(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑁(𝑣,𝑙)   𝑉(𝑣,𝑖,𝑙)

Proof of Theorem vtxdginducedm1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdginducedm1.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
2 vtxdginducedm1.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
31, 2elnelun 3997 . . . . . . . . . . 11 (𝐽𝐼) = dom 𝐸
43eqcomi 2660 . . . . . . . . . 10 dom 𝐸 = (𝐽𝐼)
54rabeqi 3224 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} = {𝑘 ∈ (𝐽𝐼) ∣ 𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}
6 rabun2 3939 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (𝐽𝐼) ∣ 𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} = ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∪ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})
75, 6eqtri 2673 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} = ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∪ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})
87fveq2i 6232 . . . . . . 7 (#‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = (#‘({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∪ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}))
9 vtxdginducedm1.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
109fvexi 6240 . . . . . . . . . 10 𝐸 ∈ V
1110dmex 7141 . . . . . . . . 9 dom 𝐸 ∈ V
121, 11rab2ex 4848 . . . . . . . 8 {𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V
132, 11rab2ex 4848 . . . . . . . 8 {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V
14 ssrab2 3720 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ⊆ 𝐽
15 ssrab2 3720 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ⊆ 𝐼
16 ss2in 3873 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ⊆ 𝐼) → ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ (𝐽𝐼))
1714, 15, 16mp2an 708 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ (𝐽𝐼)
181, 2elneldisj 3996 . . . . . . . . . . 11 (𝐽𝐼) = ∅
1918sseq2i 3663 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ (𝐽𝐼) ↔ ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ ∅)
20 ss0 4007 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ ∅ → ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = ∅)
2119, 20sylbi 207 . . . . . . . . 9 (({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ (𝐽𝐼) → ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = ∅)
2217, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = ∅
23 hashunx 13213 . . . . . . . 8 (({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V ∧ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V ∧ ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = ∅) → (#‘({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∪ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})) = ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})))
2412, 13, 22, 23mp3an 1464 . . . . . . 7 (#‘({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∪ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})) = ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}))
258, 24eqtri 2673 . . . . . 6 (#‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}))
264rabeqi 3224 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} = {𝑘 ∈ (𝐽𝐼) ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}
27 rabun2 3939 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (𝐽𝐼) ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} = ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∪ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})
2826, 27eqtri 2673 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} = ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∪ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})
2928fveq2i 6232 . . . . . . 7 (#‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = (#‘({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∪ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))
301, 11rab2ex 4848 . . . . . . . 8 {𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V
312, 11rab2ex 4848 . . . . . . . 8 {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V
32 ssrab2 3720 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ⊆ 𝐽
33 ssrab2 3720 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ⊆ 𝐼
34 ss2in 3873 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ⊆ 𝐼) → ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ (𝐽𝐼))
3532, 33, 34mp2an 708 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ (𝐽𝐼)
3618sseq2i 3663 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ (𝐽𝐼) ↔ ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ ∅)
37 ss0 4007 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ ∅ → ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = ∅)
3836, 37sylbi 207 . . . . . . . . 9 (({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ (𝐽𝐼) → ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = ∅)
3935, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = ∅
40 hashunx 13213 . . . . . . . 8 (({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V ∧ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V ∧ ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = ∅) → (#‘({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∪ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = ((#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})))
4130, 31, 39, 40mp3an 1464 . . . . . . 7 (#‘({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∪ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = ((#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))
4229, 41eqtri 2673 . . . . . 6 (#‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = ((#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))
4325, 42oveq12i 6702 . . . . 5 ((#‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = (((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})) +𝑒 ((#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})))
44 hashxnn0 13167 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V → (#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*)
4512, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8 (#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*
4645a1i 11 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*)
47 hashxnn0 13167 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V → (#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*)
4813, 47ax-mp 5 . . . . . . . 8 (#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*)
50 hashxnn0 13167 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V → (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*)
5130, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*
5251a1i 11 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*)
53 hashxnn0 13167 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V → (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*)
5431, 53ax-mp 5 . . . . . . . 8 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*
5554a1i 11 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*)
5646, 49, 52, 55xnn0add4d 12172 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})) +𝑒 ((#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))))
57 xnn0xaddcl 12104 . . . . . . . . . 10 (((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0* ∧ (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*) → ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0*)
5845, 51, 57mp2an 708 . . . . . . . . 9 ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0*
59 xnn0xr 11406 . . . . . . . . 9 (((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0* → ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ*)
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ*
61 xnn0xaddcl 12104 . . . . . . . . . 10 (((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0* ∧ (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*) → ((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0*)
6248, 54, 61mp2an 708 . . . . . . . . 9 ((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0*
63 xnn0xr 11406 . . . . . . . . 9 (((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0* → ((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ*)
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ*
65 xaddcom 12109 . . . . . . . 8 ((((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ* ∧ ((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ*) → (((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))))
6660, 64, 65mp2an 708 . . . . . . 7 (((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})))
67 vtxdginducedm1.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
68 vtxdginducedm1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
69 vtxdginducedm1.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝐸𝐼)
70 vtxdginducedm1.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
7167, 9, 68, 2, 69, 70, 1vtxdginducedm1lem4 26494 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = 0)
7271oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 0))
73 xnn0xr 11406 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0* → (#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℝ*)
7445, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℝ*
75 xaddid1 12110 . . . . . . . . . . 11 ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℝ* → ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 0) = (#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}))
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 0) = (#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})
7772, 76syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = (#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}))
78 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑙 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑙))
7978eleq2d 2716 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑣 ∈ (𝐸𝑘) ↔ 𝑣 ∈ (𝐸𝑙)))
8079cbvrabv 3230 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} = {𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}
8180fveq2i 6232 . . . . . . . . 9 (#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = (#‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})
8277, 81syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = (#‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
8382oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (#‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
8466, 83syl5eq 2697 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (#‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
8556, 84eqtrd 2685 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (((#‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})) +𝑒 ((#‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (#‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
8643, 85syl5eq 2697 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((#‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = (((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (#‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
8767, 9, 68, 2, 69, 70vtxdginducedm1lem2 26492 . . . . . . . . . 10 dom (iEdg‘𝑆) = 𝐼
8887rabeqi 3224 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)} = {𝑘𝐼𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}
8967, 9, 68, 2, 69, 70vtxdginducedm1lem3 26493 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐼 → ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = (𝐸𝑘))
9089eleq2d 2716 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐼 → (𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) ↔ 𝑣 ∈ (𝐸𝑘)))
9190rabbiia 3215 . . . . . . . . 9 {𝑘𝐼𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)} = {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}
9288, 91eqtri 2673 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)} = {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}
9392fveq2i 6232 . . . . . . 7 (#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) = (#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})
9487rabeqi 3224 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}} = {𝑘𝐼 ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}}
9589eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐼 → (((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣} ↔ (𝐸𝑘) = {𝑣}))
9695rabbiia 3215 . . . . . . . . 9 {𝑘𝐼 ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}} = {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}
9794, 96eqtri 2673 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}} = {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}
9897fveq2i 6232 . . . . . . 7 (#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}}) = (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})
9993, 98oveq12i 6702 . . . . . 6 ((#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})) = ((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))
10099eqcomi 2660 . . . . 5 ((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = ((#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}}))
101100oveq1i 6700 . . . 4 (((#‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (#‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) = (((#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (#‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
10286, 101syl6eq 2701 . . 3 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((#‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = (((#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (#‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
103 eldifi 3765 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣𝑉)
104 eqid 2651 . . . . 5 dom 𝐸 = dom 𝐸
10567, 9, 104vtxdgval 26420 . . . 4 (𝑣𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})))
106103, 105syl 17 . . 3 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})))
10770fveq2i 6232 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
10867fvexi 6240 . . . . . . . . . 10 𝑉 ∈ V
109 difexg 4841 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V)
11068, 109syl5eqel 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ V → 𝐾 ∈ V)
111108, 110ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ V
112 resexg 5477 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ V → (𝐸𝐼) ∈ V)
11369, 112syl5eqel 2734 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ V → 𝑃 ∈ V)
11410, 113ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑃 ∈ V
115111, 114opvtxfvi 25934 . . . . . . . 8 (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
116107, 115eqtri 2673 . . . . . . 7 (Vtx‘𝑆) = 𝐾
117116eleq2i 2722 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (Vtx‘𝑆) ↔ 𝑣𝐾)
11868eleq2i 2722 . . . . . 6 (𝑣𝐾𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
119117, 118sylbbr 226 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣 ∈ (Vtx‘𝑆))
120 eqid 2651 . . . . . 6 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
121 eqid 2651 . . . . . 6 (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘𝑆)
122 eqid 2651 . . . . . 6 dom (iEdg‘𝑆) = dom (iEdg‘𝑆)
123120, 121, 122vtxdgval 26420 . . . . 5 (𝑣 ∈ (Vtx‘𝑆) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = ((#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})))
124119, 123syl 17 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = ((#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})))
125124oveq1d 6705 . . 3 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (#‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) = (((#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (#‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (#‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
126102, 106, 1253eqtr4d 2695 . 2 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (#‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
127126rgen 2951 1 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (#‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  wnel 2926  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  cop 4216  dom cdm 5143  cres 5145  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  *cxr 10111  0*cxnn0 11401   +𝑒 cxad 11982  #chash 13157  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  VtxDegcvtxdg 26417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-xadd 11985  df-fz 12365  df-hash 13158  df-vtx 25921  df-iedg 25922  df-vtxdg 26418
This theorem is referenced by:  vtxdginducedm1fi  26496
  Copyright terms: Public domain W3C validator