Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgoddnumeven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdgoddnumeven 26505
 Description: The number of vertices of odd degree is even in a finite pseudograph of finite size. Proposition 1.2.1 in [Diestel] p. 5. See also remark about equation (2) in section I.1 in [Bollobas] p. 4. (Contributed by AV, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdgeven.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdgeven.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdgeven.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdgoddnumeven ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ (#‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑣,𝐷   𝑣,𝐼

Proof of Theorem vtxdgoddnumeven
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 finsumvtxdgeven.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 finsumvtxdgeven.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 finsumvtxdgeven.d . . 3 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3finsumvtxdgeven 26504 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤))
5 incom 3838 . . . . . . 7 ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ({𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})
6 rabnc 3995 . . . . . . 7 ({𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ∅
75, 6eqtri 2673 . . . . . 6 ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ∅
87a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ∅)
9 rabxm 3994 . . . . . . 7 𝑉 = ({𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∪ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})
109equncomi 3792 . . . . . 6 𝑉 = ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∪ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)})
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑉 = ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∪ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}))
12 simp2 1082 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
133fveq1i 6230 . . . . . 6 (𝐷𝑤) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤)
14 dmfi 8285 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → dom 𝐼 ∈ Fin)
15143ad2ant3 1104 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → dom 𝐼 ∈ Fin)
16 eqid 2651 . . . . . . . . 9 dom 𝐼 = dom 𝐼
171, 2, 16vtxdgfisnn0 26427 . . . . . . . 8 ((dom 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
1815, 17sylan 487 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
1918nn0cnd 11391 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℂ)
2013, 19syl5eqel 2734 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐷𝑤) ∈ ℂ)
218, 11, 12, 20fsumsplit 14515 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤) = (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
2221breq2d 4697 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤) ↔ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))))
23 rabfi 8226 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
24233ad2ant2 1103 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
25 elrabi 3391 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → 𝑤𝑉)
2615, 25, 17syl2an 493 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
2726nn0zd 11518 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℤ)
2813, 27syl5eqel 2734 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
2924, 28fsumzcl 14510 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
3029adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (#‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
31 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑤 → (𝐷𝑣) = (𝐷𝑤))
3231breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑤 → (2 ∥ (𝐷𝑣) ↔ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
3332notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑤 → (¬ 2 ∥ (𝐷𝑣) ↔ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
3433elrab 3396 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ↔ (𝑤𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
3534simprbi 479 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤))
3635adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤))
3724, 28, 36sumodd 15158 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ (#‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) ↔ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
3837notbid 307 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (¬ 2 ∥ (#‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) ↔ ¬ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
3938biimpa 500 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (#‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → ¬ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))
40 rabfi 8226 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
41403ad2ant2 1103 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
42 elrabi 3391 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → 𝑤𝑉)
4315, 42, 17syl2an 493 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
4443nn0zd 11518 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℤ)
4513, 44syl5eqel 2734 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
4641, 45fsumzcl 14510 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
4746adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (#‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
4832elrab 3396 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ↔ (𝑤𝑉 ∧ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
4948simprbi 479 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → 2 ∥ (𝐷𝑤))
5049adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → 2 ∥ (𝐷𝑤))
5141, 45, 50sumeven 15157 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))
5251adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (#‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))
53 opeo 15136 . . . . . 6 (((Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)) ∧ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))) → ¬ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
5430, 39, 47, 52, 53syl22anc 1367 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (#‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → ¬ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
5554ex 449 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (¬ 2 ∥ (#‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ¬ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))))
5655con4d 114 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)) → 2 ∥ (#‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})))
5722, 56sylbid 230 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤) → 2 ∥ (#‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})))
584, 57mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ (#‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972   + caddc 9977  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  #chash 13157  Σcsu 14460   ∥ cdvds 15027  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  UPGraphcupgr 26020  VtxDegcvtxdg 26417 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-vtx 25921  df-iedg 25922  df-edg 25985  df-uhgr 25998  df-upgr 26022  df-vtxdg 26418 This theorem is referenced by:  fusgrvtxdgonume  26506
 Copyright terms: Public domain W3C validator