Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxduhgrun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxduhgrun 26373
 Description: The degree of a vertex in the union of two hypergraphs on the same vertex set is the sum of the degrees of the vertex in each hypergraph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.) (Revised by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 19-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxduhgrun.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxduhgrun.j 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
vtxduhgrun.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxduhgrun.vh (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
vtxduhgrun.vu (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
vtxduhgrun.d (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom 𝐽) = ∅)
vtxduhgrun.g (𝜑𝐺 ∈ UHGraph )
vtxduhgrun.h (𝜑𝐻 ∈ UHGraph )
vtxduhgrun.n (𝜑𝑁𝑉)
vtxduhgrun.u (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐼𝐽))
Assertion
Ref Expression
vtxduhgrun (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑈)‘𝑁) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) +𝑒 ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑁)))

Proof of Theorem vtxduhgrun
StepHypRef Expression
1 vtxduhgrun.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2 vtxduhgrun.j . 2 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3 vtxduhgrun.vg . 2 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 vtxduhgrun.vh . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
5 vtxduhgrun.vu . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
6 vtxduhgrun.d . 2 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom 𝐽) = ∅)
7 vtxduhgrun.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ UHGraph )
81uhgrfun 25955 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 → Fun 𝐼)
10 vtxduhgrun.h . . 3 (𝜑𝐻 ∈ UHGraph )
112uhgrfun 25955 . . 3 (𝐻 ∈ UHGraph → Fun 𝐽)
1210, 11syl 17 . 2 (𝜑 → Fun 𝐽)
13 vtxduhgrun.n . 2 (𝜑𝑁𝑉)
14 vtxduhgrun.u . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐼𝐽))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 13, 14vtxdun 26371 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑈)‘𝑁) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) +𝑒 ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ∪ cun 3570   ∩ cin 3571  ∅c0 3913  dom cdm 5112  Fun wfun 5880  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647   +𝑒 cxad 11941  Vtxcvtx 25868  iEdgciedg 25869   UHGraph cuhgr 25945  VtxDegcvtxdg 26355 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-n0 11290  df-xnn0 11361  df-z 11375  df-uz 11685  df-xadd 11944  df-hash 13113  df-uhgr 25947  df-vtxdg 26356 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator