Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdusgr0edgnelALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdusgr0edgnelALT 26278
 Description: Alternate proof of vtxdusgr0edgnel 26277, not based on vtxduhgr0edgnel 26276. A vertex in a simple graph has degree 0 if there is no edge incident with this vertex. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdushgrfvedg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdusgr0edgnelALT ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸 𝑈𝑒))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑈,𝑒   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑒)

Proof of Theorem vtxdusgr0edgnelALT
StepHypRef Expression
1 vtxdushgrfvedg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdushgrfvedg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3 vtxdushgrfvedg.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3vtxdusgrfvedg 26273 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = (#‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}))
54eqeq1d 2623 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ (#‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}) = 0))
6 fvex 6158 . . . . 5 (Edg‘𝐺) ∈ V
72, 6eqeltri 2694 . . . 4 𝐸 ∈ V
87rabex 4773 . . 3 {𝑒𝐸𝑈𝑒} ∈ V
9 hasheq0 13094 . . 3 ({𝑒𝐸𝑈𝑒} ∈ V → ((#‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}) = 0 ↔ {𝑒𝐸𝑈𝑒} = ∅))
108, 9mp1i 13 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((#‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}) = 0 ↔ {𝑒𝐸𝑈𝑒} = ∅))
11 rabeq0 3931 . . 3 ({𝑒𝐸𝑈𝑒} = ∅ ↔ ∀𝑒𝐸 ¬ 𝑈𝑒)
12 ralnex 2986 . . . 4 (∀𝑒𝐸 ¬ 𝑈𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸 𝑈𝑒)
1312a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (∀𝑒𝐸 ¬ 𝑈𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸 𝑈𝑒))
1411, 13syl5bb 272 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ({𝑒𝐸𝑈𝑒} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑒𝐸 𝑈𝑒))
155, 10, 143bitrd 294 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸 𝑈𝑒))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  ∅c0 3891  ‘cfv 5847  0cc0 9880  #chash 13057  Vtxcvtx 25774  Edgcedg 25839   USGraph cusgr 25937  VtxDegcvtxdg 26248 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-xadd 11891  df-fz 12269  df-hash 13058  df-edg 25840  df-uhgr 25849  df-ushgr 25850  df-upgr 25873  df-umgr 25874  df-uspgr 25938  df-usgr 25939  df-vtxdg 26249 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator