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Theorem wallispi2lem2 39593
Description: Two expressions are proven to be equal, and this is used to complete the proof of the second version of Wallis' formula for π . (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
wallispi2lem2 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑁) = (((2↑(4 · 𝑁)) · ((!‘𝑁)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑁))↑2)))

Proof of Theorem wallispi2lem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6148 . . 3 (𝑥 = 1 → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘1))
2 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (4 · 𝑥) = (4 · 1))
32oveq2d 6620 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (2↑(4 · 𝑥)) = (2↑(4 · 1)))
4 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (!‘𝑥) = (!‘1))
54oveq1d 6619 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((!‘𝑥)↑4) = ((!‘1)↑4))
63, 5oveq12d 6622 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) = ((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4)))
7 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
87fveq2d 6152 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (!‘(2 · 𝑥)) = (!‘(2 · 1)))
98oveq1d 6619 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((!‘(2 · 𝑥))↑2) = ((!‘(2 · 1))↑2))
106, 9oveq12d 6622 . . 3 (𝑥 = 1 → (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) = (((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4)) / ((!‘(2 · 1))↑2)))
111, 10eqeq12d 2636 . 2 (𝑥 = 1 → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) ↔ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘1) = (((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4)) / ((!‘(2 · 1))↑2))))
12 fveq2 6148 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦))
13 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (4 · 𝑥) = (4 · 𝑦))
1413oveq2d 6620 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (2↑(4 · 𝑥)) = (2↑(4 · 𝑦)))
15 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (!‘𝑥) = (!‘𝑦))
1615oveq1d 6619 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((!‘𝑥)↑4) = ((!‘𝑦)↑4))
1714, 16oveq12d 6622 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) = ((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)))
18 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
1918fveq2d 6152 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (!‘(2 · 𝑥)) = (!‘(2 · 𝑦)))
2019oveq1d 6619 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((!‘(2 · 𝑥))↑2) = ((!‘(2 · 𝑦))↑2))
2117, 20oveq12d 6622 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)))
2212, 21eqeq12d 2636 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) ↔ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))))
23 fveq2 6148 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)))
24 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (4 · 𝑥) = (4 · (𝑦 + 1)))
2524oveq2d 6620 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (2↑(4 · 𝑥)) = (2↑(4 · (𝑦 + 1))))
26 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑦 + 1)))
2726oveq1d 6619 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((!‘𝑥)↑4) = ((!‘(𝑦 + 1))↑4))
2825, 27oveq12d 6622 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) = ((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)))
29 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑦 + 1)))
3029fveq2d 6152 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘(2 · 𝑥)) = (!‘(2 · (𝑦 + 1))))
3130oveq1d 6619 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((!‘(2 · 𝑥))↑2) = ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2))
3228, 31oveq12d 6622 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2)))
3323, 32eqeq12d 2636 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) ↔ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2))))
34 fveq2 6148 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑁))
35 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (4 · 𝑥) = (4 · 𝑁))
3635oveq2d 6620 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (2↑(4 · 𝑥)) = (2↑(4 · 𝑁)))
37 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
3837oveq1d 6619 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((!‘𝑥)↑4) = ((!‘𝑁)↑4))
3936, 38oveq12d 6622 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) = ((2↑(4 · 𝑁)) · ((!‘𝑁)↑4)))
40 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑁))
4140fveq2d 6152 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (!‘(2 · 𝑥)) = (!‘(2 · 𝑁)))
4241oveq1d 6619 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((!‘(2 · 𝑥))↑2) = ((!‘(2 · 𝑁))↑2))
4339, 42oveq12d 6622 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) = (((2↑(4 · 𝑁)) · ((!‘𝑁)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑁))↑2)))
4434, 43eqeq12d 2636 . 2 (𝑥 = 𝑁 → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) ↔ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑁) = (((2↑(4 · 𝑁)) · ((!‘𝑁)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑁))↑2))))
45 1z 11351 . . . 4 1 ∈ ℤ
46 seq1 12754 . . . 4 (1 ∈ ℤ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘1) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘1))
4745, 46ax-mp 5 . . 3 (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘1) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘1)
48 1nn 10975 . . . 4 1 ∈ ℕ
49 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (2 · 𝑘) = (2 · 1))
5049oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘)↑4) = ((2 · 1)↑4))
5149oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 1) − 1))
5249, 51oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 1) · ((2 · 1) − 1)))
5352oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2) = (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2))
5450, 53oveq12d 6622 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · 1)↑4) / (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2)))
55 eqid 2621 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))
56 ovex 6632 . . . . 5 (((2 · 1)↑4) / (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2)) ∈ V
5754, 55, 56fvmpt 6239 . . . 4 (1 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘1) = (((2 · 1)↑4) / (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2)))
5848, 57ax-mp 5 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘1) = (((2 · 1)↑4) / (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2))
59 2t1e2 11120 . . . . . 6 (2 · 1) = 2
6059oveq1i 6614 . . . . 5 ((2 · 1)↑4) = (2↑4)
61 2exp4 15718 . . . . . . 7 (2↑4) = 16
62 1nn0 11252 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
63 6nn0 11257 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
64 0nn0 11251 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
65 1t1e1 11119 . . . . . . . . . 10 (1 · 1) = 1
6665oveq1i 6614 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 0) = (1 + 0)
67 1p0e1 11077 . . . . . . . . 9 (1 + 0) = 1
6866, 67eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 0) = 1
69 6cn 11046 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
7069mulid1i 9986 . . . . . . . . 9 (6 · 1) = 6
7163dec0h 11466 . . . . . . . . 9 6 = 06
7270, 71eqtri 2643 . . . . . . . 8 (6 · 1) = 06
7362, 62, 63, 61, 63, 64, 68, 72decmul1c 11531 . . . . . . 7 ((2↑4) · 1) = 16
7461, 73eqtr4i 2646 . . . . . 6 (2↑4) = ((2↑4) · 1)
75 2nn0 11253 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
76 2t2e4 11121 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
77 sq1 12898 . . . . . . . . 9 (1↑2) = 1
7862, 75, 76, 77, 65numexp2x 15707 . . . . . . . 8 (1↑4) = 1
7978eqcomi 2630 . . . . . . 7 1 = (1↑4)
8079oveq2i 6615 . . . . . 6 ((2↑4) · 1) = ((2↑4) · (1↑4))
81 4cn 11042 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
8281mulid1i 9986 . . . . . . . . 9 (4 · 1) = 4
8382eqcomi 2630 . . . . . . . 8 4 = (4 · 1)
8483oveq2i 6615 . . . . . . 7 (2↑4) = (2↑(4 · 1))
85 fac1 13004 . . . . . . . . 9 (!‘1) = 1
8685eqcomi 2630 . . . . . . . 8 1 = (!‘1)
8786oveq1i 6614 . . . . . . 7 (1↑4) = ((!‘1)↑4)
8884, 87oveq12i 6616 . . . . . 6 ((2↑4) · (1↑4)) = ((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4))
8974, 80, 883eqtri 2647 . . . . 5 (2↑4) = ((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4))
9060, 89eqtri 2643 . . . 4 ((2 · 1)↑4) = ((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4))
9159oveq1i 6614 . . . . . . . 8 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
92 2m1e1 11079 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
9391, 92eqtri 2643 . . . . . . 7 ((2 · 1) − 1) = 1
9493oveq2i 6615 . . . . . 6 ((2 · 1) · ((2 · 1) − 1)) = ((2 · 1) · 1)
9559oveq1i 6614 . . . . . . 7 ((2 · 1) · 1) = (2 · 1)
9695, 59eqtri 2643 . . . . . 6 ((2 · 1) · 1) = 2
9759fveq2i 6151 . . . . . . . 8 (!‘(2 · 1)) = (!‘2)
98 fac2 13006 . . . . . . . 8 (!‘2) = 2
9997, 98eqtri 2643 . . . . . . 7 (!‘(2 · 1)) = 2
10099eqcomi 2630 . . . . . 6 2 = (!‘(2 · 1))
10194, 96, 1003eqtri 2647 . . . . 5 ((2 · 1) · ((2 · 1) − 1)) = (!‘(2 · 1))
102101oveq1i 6614 . . . 4 (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2) = ((!‘(2 · 1))↑2)
10390, 102oveq12i 6616 . . 3 (((2 · 1)↑4) / (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2)) = (((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4)) / ((!‘(2 · 1))↑2))
10447, 58, 1033eqtri 2647 . 2 (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘1) = (((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4)) / ((!‘(2 · 1))↑2))
105 elnnuz 11668 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
106105biimpi 206 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
107106adantr 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
108 seqp1 12756 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)) = ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))))
109107, 108syl 17 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)) = ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))))
110 simpr 477 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)))
111110oveq1d 6619 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))) = ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))))
112 eqidd 2622 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))
113 oveq2 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑦 + 1)))
114113oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘)↑4) = ((2 · (𝑦 + 1))↑4))
115113oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))
116113, 115oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)))
117116oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2) = (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))
118114, 117oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)))
119118adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑦 + 1)) → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)))
120 peano2nn 10976 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
121 2cnd 11037 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
122 nncn 10972 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
123 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
124122, 123addcld 10003 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
125121, 124mulcld 10004 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℂ)
126 4nn0 11255 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
127126a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ0)
128125, 127expcld 12948 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1))↑4) ∈ ℂ)
129125, 123subcld 10336 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
130125, 129mulcld 10004 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) ∈ ℂ)
131130sqcld 12946 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2) ∈ ℂ)
132 2pos 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 2
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 2)
134133gt0ne0d 10536 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
135120nnne0d 11009 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ≠ 0)
136121, 124, 134, 135mulne0d 10623 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ≠ 0)
137 1red 9999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
138 2re 11034 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
140 nnre 10971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
141140, 137readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
142 1lt2 11138 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < 2)
144 nnrp 11786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
145137, 144ltaddrp2d 11850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (𝑦 + 1))
146139, 141, 143, 145mulgt1d 10904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (2 · (𝑦 + 1)))
147137, 146gtned 10116 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ≠ 1)
148125, 123, 147subne0d 10345 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) ≠ 0)
149125, 129, 136, 148mulne0d 10623 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) ≠ 0)
150 2z 11353 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
151150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
152130, 149, 151expne0d 12954 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2) ≠ 0)
153128, 131, 152divcld 10745 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)) ∈ ℂ)
154112, 119, 120, 153fvmptd 6245 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1)) = (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)))
155154oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))) = ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))))
156 nnnn0 11243 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
157127, 156nn0mulcld 11300 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (4 · 𝑦) ∈ ℕ0)
158121, 157expcld 12948 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2↑(4 · 𝑦)) ∈ ℂ)
159 faccl 13010 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
160 nncn 10972 . . . . . . . . . . 11 ((!‘𝑦) ∈ ℕ → (!‘𝑦) ∈ ℂ)
161156, 159, 1603syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘𝑦) ∈ ℂ)
162161, 127expcld 12948 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘𝑦)↑4) ∈ ℂ)
163158, 162mulcld 10004 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) ∈ ℂ)
16475a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
165164, 156nn0mulcld 11300 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℕ0)
166 faccl 13010 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘(2 · 𝑦)) ∈ ℕ)
167 nncn 10972 . . . . . . . . . 10 ((!‘(2 · 𝑦)) ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
168165, 166, 1673syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
169168sqcld 12946 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
170165, 166syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑦)) ∈ ℕ)
171170nnne0d 11009 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑦)) ≠ 0)
172168, 171, 151expne0d 12954 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑦))↑2) ≠ 0)
173163, 169, 128, 131, 172, 152divmuldivd 10786 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))) = ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2 · (𝑦 + 1))↑4)) / (((!‘(2 · 𝑦))↑2) · (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))))
174121, 124, 127mulexpd 12963 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1))↑4) = ((2↑4) · ((𝑦 + 1)↑4)))
175174oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2 · (𝑦 + 1))↑4)) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2↑4) · ((𝑦 + 1)↑4))))
176121, 127expcld 12948 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (2↑4) ∈ ℂ)
177124, 127expcld 12948 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1)↑4) ∈ ℂ)
178158, 162, 176, 177mul4d 10192 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2↑4) · ((𝑦 + 1)↑4))) = (((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦)↑4) · ((𝑦 + 1)↑4))))
179161, 124, 127mulexpd 12963 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4) = (((!‘𝑦)↑4) · ((𝑦 + 1)↑4)))
180179eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘𝑦)↑4) · ((𝑦 + 1)↑4)) = (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4))
181180oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦)↑4) · ((𝑦 + 1)↑4))) = (((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)))
182175, 178, 1813eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2 · (𝑦 + 1))↑4)) = (((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)))
183121, 122mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
184183, 123addcld 10003 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℂ)
185125, 184mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · 𝑦) + 1)) = (((2 · 𝑦) + 1) · (2 · (𝑦 + 1))))
186185oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · 𝑦) + 1))) = ((!‘(2 · 𝑦)) · (((2 · 𝑦) + 1) · (2 · (𝑦 + 1)))))
187121, 122, 123adddid 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
188187oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑦) + (2 · 1)) − 1))
18959, 121syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
190183, 189, 123addsubassd 10356 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑦) + ((2 · 1) − 1)))
19159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
192191oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) = (2 − 1))
193192, 92syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) = 1)
194193oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · 𝑦) + 1))
195188, 190, 1943eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
196195oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) = ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · 𝑦) + 1)))
197196oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))) = ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · 𝑦) + 1))))
198168, 184, 125mulassd 10007 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) = ((!‘(2 · 𝑦)) · (((2 · 𝑦) + 1) · (2 · (𝑦 + 1)))))
199186, 197, 1983eqtr4d 2665 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))) = (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))))
200199oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)))↑2) = ((((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1)))↑2))
201168, 130, 164mulexpd 12963 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)))↑2) = (((!‘(2 · 𝑦))↑2) · (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)))
202 df-2 11023 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 = (1 + 1)
203202a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 2 = (1 + 1))
204203oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 2) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1)))
205183, 123, 123addassd 10006 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1)))
206204, 205eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 2) = (((2 · 𝑦) + 1) + 1))
207206fveq2d 6152 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑦) + 2)) = (!‘(((2 · 𝑦) + 1) + 1)))
20862a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
209165, 208nn0addcld 11299 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
210 facp1 13005 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑦) + 1)) · (((2 · 𝑦) + 1) + 1)))
211209, 210syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑦) + 1)) · (((2 · 𝑦) + 1) + 1)))
212 facp1 13005 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑦) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)))
213165, 212syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑦) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)))
214203eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
215214oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑦) + 2))
216214, 202, 593eqtr4g 2680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 2 = (2 · 1))
217216oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 2) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
218217, 187eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 2) = (2 · (𝑦 + 1)))
219205, 215, 2183eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = (2 · (𝑦 + 1)))
220213, 219oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑦) + 1)) · (((2 · 𝑦) + 1) + 1)) = (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))))
221207, 211, 2203eqtrrd 2660 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) = (!‘((2 · 𝑦) + 2)))
222221oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1)))↑2) = ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2))
223200, 201, 2223eqtr3d 2663 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑦))↑2) · (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)) = ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2))
224182, 223oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2 · (𝑦 + 1))↑4)) / (((!‘(2 · 𝑦))↑2) · (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))) = ((((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2)))
225173, 224eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))) = ((((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2)))
22683a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 4 = (4 · 1))
227226oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((4 · 𝑦) + 4) = ((4 · 𝑦) + (4 · 1)))
228227oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2↑((4 · 𝑦) + 4)) = (2↑((4 · 𝑦) + (4 · 1))))
229121, 127, 157expaddd 12950 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2↑((4 · 𝑦) + 4)) = ((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)))
23081a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
231230, 122, 123adddid 10008 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (4 · (𝑦 + 1)) = ((4 · 𝑦) + (4 · 1)))
232231eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((4 · 𝑦) + (4 · 1)) = (4 · (𝑦 + 1)))
233232oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2↑((4 · 𝑦) + (4 · 1))) = (2↑(4 · (𝑦 + 1))))
234228, 229, 2333eqtr3d 2663 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) = (2↑(4 · (𝑦 + 1))))
235 facp1 13005 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
236156, 235syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
237236eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)) = (!‘(𝑦 + 1)))
238237oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4) = ((!‘(𝑦 + 1))↑4))
239234, 238oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)) = ((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)))
240218fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑦) + 2)) = (!‘(2 · (𝑦 + 1))))
241240oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2) = ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2))
242239, 241oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2)) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2)))
243155, 225, 2423eqtrd 2659 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2)))
244243adantr 481 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2)))
245109, 111, 2443eqtrd 2659 . . 3 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2)))
246245ex 450 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2))))
24711, 22, 33, 44, 104, 246nnind 10982 1 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑁) = (((2↑(4 · 𝑁)) · ((!‘𝑁)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑁))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  4c4 11016  6c6 11018  0cn0 11236  cz 11321  cdc 11437  cuz 11631  seqcseq 12741  cexp 12800  !cfa 13000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001
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