Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispilem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispilem5 40604
Description: The sequence 𝐻 converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem5.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispilem5.2 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
wallispilem5.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
wallispilem5.4 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
wallispilem5.5 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
wallispilem5 𝐻 ⇝ 1
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥   𝑥,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐿
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem5
StepHypRef Expression
1 wallispilem5.1 . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2 wallispilem5.2 . . 3 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
3 wallispilem5.3 . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
4 wallispilem5.4 . . 3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
51, 2, 3, 4wallispilem4 40603 . 2 𝐺 = 𝐻
6 nnuz 11761 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
7 1zzd 11446 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
8 wallispilem5.5 . . . . 5 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
9 2cnd 11131 . . . . 5 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
10 2ne0 11151 . . . . . 6 2 ≠ 0
1110a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 2 ≠ 0)
12 1cnd 10094 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
138, 9, 11, 12clim1fr1 40151 . . . 4 (⊤ → 𝐿 ⇝ 1)
14 nnex 11064 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
1514mptex 6527 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V
163, 15eqeltri 2726 . . . . 5 𝐺 ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐺 ∈ V)
18 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
20 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
2119, 20nn0mulcld 11394 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
22 1nn0 11346 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
2421, 23nn0addcld 11393 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0)
2524nn0red 11390 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
2621nn0red 11390 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
27 2cnd 11131 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
28 nncn 11066 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
2910a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
30 nnne0 11091 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3127, 28, 29, 30mulne0d 10717 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 0)
3225, 26, 31redivcld 10891 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
338, 32fmpti 6423 . . . . . 6 𝐿:ℕ⟶ℝ
3433a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
3534ffvelrnda 6399 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐿𝑘) ∈ ℝ)
362wallispilem3 40602 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
3721, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
3837rpred 11910 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
392wallispilem3 40602 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
4024, 39syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
4138, 40rerpdivcld 11941 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℝ)
423, 41fmpti 6423 . . . . . 6 𝐺:ℕ⟶ℝ
4342a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
4443ffvelrnda 6399 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4518a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
46 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
4745, 46nn0mulcld 11394 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
482wallispilem3 40602 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ+)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ+)
5049rpred 11910 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
51 2nn 11223 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
53 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
5452, 53nnmulcld 11106 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
55 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
572wallispilem3 40602 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ0 → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ+)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ+)
5958rpred 11910 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
6022a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
6147, 60nn0addcld 11393 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
622wallispilem3 40602 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0 → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ+)
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ+)
64 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
65 nncn 11066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
6664, 65mulcld 10098 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
67 1cnd 10094 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
6866, 67npcand 10434 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) + 1) = (2 · 𝑘))
6968fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
702, 56wallispilem1 40600 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
7169, 70eqbrtrrd 4709 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
7250, 59, 63, 71lediv1dd 11968 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
7366, 67addcld 10097 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
7410a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
75 nnne0 11091 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
7664, 65, 74, 75mulne0d 10717 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ≠ 0)
7773, 66, 76divcld 10839 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
7863rpcnd 11912 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
7963rpne0d 11915 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
8077, 78, 79divcan4d 10845 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
81 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
83 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
8482, 83remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
85 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
8684, 85readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
8745nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
88 nnge1 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
8982, 83, 87, 88lemulge11d 10999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑘))
9084ltp1d 10992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) < ((2 · 𝑘) + 1))
9182, 84, 86, 89, 90lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 2 < ((2 · 𝑘) + 1))
9282, 86, 91ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
9345nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
9461nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ)
95 eluz 11739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
9693, 94, 95syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
9792, 96mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ‘2))
982, 97itgsinexp 40488 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))))
9966, 67pncand 10431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
10099oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))
101 1e2m1 11174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (2 − 1)
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 1 = (2 − 1))
103102oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑘) − (2 − 1)))
10466, 64, 67subsub3d 10460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) − 2))
105103, 104eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 2) = ((2 · 𝑘) − 1))
106105fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
107100, 106oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
10898, 107eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
109108oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
11054peano2nnd 11075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
111110nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
11266, 73, 111divcld 10839 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
11358rpcnd 11912 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
11477, 112, 113mulassd 10101 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
11573, 66, 111, 76divcan6d 10858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
116115oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
117113mulid2d 10096 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
118116, 117eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
119109, 114, 1183eqtr2d 2691 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
120119oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
12180, 120eqtr3d 2687 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
12272, 121breqtrrd 4713 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
12349, 63rpdivcld 11927 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ+)
124 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑛𝑘
125 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
1262, 125nfcxfr 2791 . . . . . . . . . 10 𝑛𝐼
127 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑛(2 · 𝑘)
128126, 127nffv 6236 . . . . . . . . 9 𝑛(𝐼‘(2 · 𝑘))
129 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑛 /
130 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑛((2 · 𝑘) + 1)
131126, 130nffv 6236 . . . . . . . . 9 𝑛(𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))
132128, 129, 131nfov 6716 . . . . . . . 8 𝑛((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
133 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
134133fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘(2 · 𝑛)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
135133oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
136135fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
137134, 136oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
138124, 132, 137, 3fvmptf 6340 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ+) → (𝐺𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
139123, 138mpdan 703 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
1408a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))))
141 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
142141oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
143142oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
144143, 142oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
145140, 144, 53, 77fvmptd 6327 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐿𝑘) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
146122, 139, 1453brtr4d 4717 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ≤ (𝐿𝑘))
147146adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐿𝑘))
14878, 79dividd 10837 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
14963rpred 11910 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
1502, 47wallispilem1 40600 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (𝐼‘(2 · 𝑘)))
151149, 50, 63, 150lediv1dd 11968 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
152148, 151eqbrtrrd 4709 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
153152, 139breqtrrd 4713 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐺𝑘))
154153adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐺𝑘))
1556, 7, 13, 17, 35, 44, 147, 154climsqz2 14416 . . 3 (⊤ → 𝐺 ⇝ 1)
156155trud 1533 . 2 𝐺 ⇝ 1
1575, 156eqbrtrri 4708 1 𝐻 ⇝ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wtru 1524  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  (,)cioo 12213  seqcseq 12841  cexp 12900  cli 14259  sincsin 14838  πcpi 14841  citg 23432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  wallispi  40605
  Copyright terms: Public domain W3C validator