Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomfil 8922
 Description: Weak dominance agrees with normal for finite left sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomfil (𝑋 ∈ Fin → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))

Proof of Theorem wdomfil
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 8512 . . . . . . 7 Rel ≼*
21brrelex2i 5193 . . . . . 6 (𝑋* 𝑌𝑌 ∈ V)
3 0domg 8128 . . . . . 6 (𝑌 ∈ V → ∅ ≼ 𝑌)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑋* 𝑌 → ∅ ≼ 𝑌)
5 breq1 4688 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (𝑋𝑌 ↔ ∅ ≼ 𝑌))
64, 5syl5ibr 236 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
76adantl 481 . . 3 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
8 brwdomn0 8515 . . . . 5 (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌onto𝑋))
98adantl 481 . . . 4 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌onto𝑋))
10 vex 3234 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
11 fof 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑥:𝑌onto𝑋𝑥:𝑌𝑋)
12 dmfex 7166 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥:𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ V)
1310, 11, 12sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝑥:𝑌onto𝑋𝑌 ∈ V)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
16 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑥:𝑌onto𝑋)
17 fodomfi2 8921 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑋𝑌)
1814, 15, 16, 17syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑋𝑌)
1918ex 449 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin → (𝑥:𝑌onto𝑋𝑋𝑌))
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑥:𝑌onto𝑋𝑋𝑌))
2120exlimdv 1901 . . . 4 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑥 𝑥:𝑌onto𝑋𝑋𝑌))
229, 21sylbid 230 . . 3 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
237, 22pm2.61dane 2910 . 2 (𝑋 ∈ Fin → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
24 domwdom 8520 . 2 (𝑋𝑌𝑋* 𝑌)
2523, 24impbid1 215 1 (𝑋 ∈ Fin → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  –onto→wfo 5924   ≼ cdom 7995  Fincfn 7997   ≼* cwdom 8503 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-wdom 8505  df-card 8803  df-acn 8806 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator