MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomref 8422
Description: Reflexivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomref (𝑋𝑉𝑋* 𝑋)

Proof of Theorem wdomref
StepHypRef Expression
1 resiexg 7050 . 2 (𝑋𝑉 → ( I ↾ 𝑋) ∈ V)
2 f1oi 6133 . . 3 ( I ↾ 𝑋):𝑋1-1-onto𝑋
3 f1ofo 6103 . . 3 (( I ↾ 𝑋):𝑋1-1-onto𝑋 → ( I ↾ 𝑋):𝑋onto𝑋)
42, 3ax-mp 5 . 2 ( I ↾ 𝑋):𝑋onto𝑋
5 fowdom 8421 . 2 ((( I ↾ 𝑋) ∈ V ∧ ( I ↾ 𝑋):𝑋onto𝑋) → 𝑋* 𝑋)
61, 4, 5sylancl 693 1 (𝑋𝑉𝑋* 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1992  Vcvv 3191   class class class wbr 4618   I cid 4989  cres 5081  ontowfo 5848  1-1-ontowf1o 5849  * cwdom 8407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-wdom 8409
This theorem is referenced by:  hsmexlem3  9195  hsmexlem5  9197
  Copyright terms: Public domain W3C validator