MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomtr 8425
Description: Transitivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomtr ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → 𝑋* 𝑍)

Proof of Theorem wdomtr
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 8416 . . . . 5 Rel ≼*
21brrelex2i 5124 . . . 4 (𝑌* 𝑍𝑍 ∈ V)
32adantl 482 . . 3 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
4 0wdom 8420 . . . 4 (𝑍 ∈ V → ∅ ≼* 𝑍)
5 breq1 4621 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝑋* 𝑍 ↔ ∅ ≼* 𝑍))
64, 5syl5ibrcom 237 . . 3 (𝑍 ∈ V → (𝑋 = ∅ → 𝑋* 𝑍))
73, 6syl 17 . 2 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → (𝑋 = ∅ → 𝑋* 𝑍))
8 simpll 789 . . . . 5 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋* 𝑌)
9 brwdomn0 8419 . . . . . 6 (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌onto𝑋))
109adantl 482 . . . . 5 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌onto𝑋))
118, 10mpbid 222 . . . 4 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑧 𝑧:𝑌onto𝑋)
12 simpllr 798 . . . . . 6 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑌* 𝑍)
13 simplr 791 . . . . . . . 8 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
14 dm0rn0 5306 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑧 = ∅ ↔ ran 𝑧 = ∅)
1514necon3bii 2848 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅)
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅))
17 fof 6074 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧:𝑌onto𝑋𝑧:𝑌𝑋)
18 fdm 6010 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧:𝑌𝑋 → dom 𝑧 = 𝑌)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧:𝑌onto𝑋 → dom 𝑧 = 𝑌)
2019neeq1d 2855 . . . . . . . . . 10 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
21 forn 6077 . . . . . . . . . . 11 (𝑧:𝑌onto𝑋 → ran 𝑧 = 𝑋)
2221neeq1d 2855 . . . . . . . . . 10 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (ran 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
2316, 20, 223bitr3rd 299 . . . . . . . . 9 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
2423adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
2513, 24mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑌 ≠ ∅)
26 brwdomn0 8419 . . . . . . 7 (𝑌 ≠ ∅ → (𝑌* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (𝑌* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌))
2812, 27mpbid 222 . . . . 5 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → ∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌)
29 vex 3194 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
30 vex 3194 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
3129, 30coex 7068 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑦) ∈ V
32 foco 6084 . . . . . . . . 9 ((𝑧:𝑌onto𝑋𝑦:𝑍onto𝑌) → (𝑧𝑦):𝑍onto𝑋)
33 fowdom 8421 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝑦) ∈ V ∧ (𝑧𝑦):𝑍onto𝑋) → 𝑋* 𝑍)
3431, 32, 33sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝑧:𝑌onto𝑋𝑦:𝑍onto𝑌) → 𝑋* 𝑍)
3534adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑧:𝑌onto𝑋𝑦:𝑍onto𝑌)) → 𝑋* 𝑍)
3635expr 642 . . . . . 6 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (𝑦:𝑍onto𝑌𝑋* 𝑍))
3736exlimdv 1863 . . . . 5 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌𝑋* 𝑍))
3828, 37mpd 15 . . . 4 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑋* 𝑍)
3911, 38exlimddv 1865 . . 3 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋* 𝑍)
4039ex 450 . 2 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → (𝑋 ≠ ∅ → 𝑋* 𝑍))
417, 40pm2.61dne 2882 1 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → 𝑋* 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  wne 2796  Vcvv 3191  c0 3896   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  ran crn 5080  ccom 5083  wf 5846  ontowfo 5848  * cwdom 8407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-fo 5856  df-wdom 8409
This theorem is referenced by:  wdomen1  8426  wdomen2  8427  wdom2d  8430  wdomima2g  8436  unxpwdom2  8438  unxpwdom  8439  harwdom  8440  pwcdadom  8983  hsmexlem1  9193  hsmexlem4  9196
  Copyright terms: Public domain W3C validator