MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomtr 8521
Description: Transitivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomtr ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → 𝑋* 𝑍)

Proof of Theorem wdomtr
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 8512 . . . . 5 Rel ≼*
21brrelex2i 5193 . . . 4 (𝑌* 𝑍𝑍 ∈ V)
32adantl 481 . . 3 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
4 0wdom 8516 . . . 4 (𝑍 ∈ V → ∅ ≼* 𝑍)
5 breq1 4688 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝑋* 𝑍 ↔ ∅ ≼* 𝑍))
64, 5syl5ibrcom 237 . . 3 (𝑍 ∈ V → (𝑋 = ∅ → 𝑋* 𝑍))
73, 6syl 17 . 2 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → (𝑋 = ∅ → 𝑋* 𝑍))
8 simpll 805 . . . . 5 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋* 𝑌)
9 brwdomn0 8515 . . . . . 6 (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌onto𝑋))
109adantl 481 . . . . 5 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌onto𝑋))
118, 10mpbid 222 . . . 4 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑧 𝑧:𝑌onto𝑋)
12 simpllr 815 . . . . . 6 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑌* 𝑍)
13 simplr 807 . . . . . . . 8 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
14 dm0rn0 5374 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑧 = ∅ ↔ ran 𝑧 = ∅)
1514necon3bii 2875 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅)
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅))
17 fof 6153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧:𝑌onto𝑋𝑧:𝑌𝑋)
18 fdm 6089 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧:𝑌𝑋 → dom 𝑧 = 𝑌)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧:𝑌onto𝑋 → dom 𝑧 = 𝑌)
2019neeq1d 2882 . . . . . . . . . 10 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
21 forn 6156 . . . . . . . . . . 11 (𝑧:𝑌onto𝑋 → ran 𝑧 = 𝑋)
2221neeq1d 2882 . . . . . . . . . 10 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (ran 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
2316, 20, 223bitr3rd 299 . . . . . . . . 9 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
2423adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
2513, 24mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑌 ≠ ∅)
26 brwdomn0 8515 . . . . . . 7 (𝑌 ≠ ∅ → (𝑌* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (𝑌* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌))
2812, 27mpbid 222 . . . . 5 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → ∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌)
29 vex 3234 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
30 vex 3234 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
3129, 30coex 7160 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑦) ∈ V
32 foco 6163 . . . . . . . . 9 ((𝑧:𝑌onto𝑋𝑦:𝑍onto𝑌) → (𝑧𝑦):𝑍onto𝑋)
33 fowdom 8517 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝑦) ∈ V ∧ (𝑧𝑦):𝑍onto𝑋) → 𝑋* 𝑍)
3431, 32, 33sylancr 696 . . . . . . . 8 ((𝑧:𝑌onto𝑋𝑦:𝑍onto𝑌) → 𝑋* 𝑍)
3534adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑧:𝑌onto𝑋𝑦:𝑍onto𝑌)) → 𝑋* 𝑍)
3635expr 642 . . . . . 6 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (𝑦:𝑍onto𝑌𝑋* 𝑍))
3736exlimdv 1901 . . . . 5 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌𝑋* 𝑍))
3828, 37mpd 15 . . . 4 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑋* 𝑍)
3911, 38exlimddv 1903 . . 3 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋* 𝑍)
4039ex 449 . 2 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → (𝑋 ≠ ∅ → 𝑋* 𝑍))
417, 40pm2.61dne 2909 1 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → 𝑋* 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  c0 3948   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144  ccom 5147  wf 5922  ontowfo 5924  * cwdom 8503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fo 5932  df-wdom 8505
This theorem is referenced by:  wdomen1  8522  wdomen2  8523  wdom2d  8526  wdomima2g  8532  unxpwdom2  8534  unxpwdom  8535  harwdom  8536  pwcdadom  9076  hsmexlem1  9286  hsmexlem4  9289
  Copyright terms: Public domain W3C validator