Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  welb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem welb 34892
Description: A nonempty subset of a well-ordered set has a lower bound. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
welb ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem welb
StepHypRef Expression
1 wess 5535 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐵))
21impcom 408 . . . . 5 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 We 𝐵)
3 weso 5539 . . . . 5 (𝑅 We 𝐵𝑅 Or 𝐵)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
5 cnvso 6132 . . . 4 (𝑅 Or 𝐵𝑅 Or 𝐵)
64, 5sylib 219 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
763ad2antr2 1181 . 2 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐵)
8 wefr 5538 . . . . 5 (𝑅 We 𝐵𝑅 Fr 𝐵)
92, 8syl 17 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 Fr 𝐵)
1093ad2antr2 1181 . . 3 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Fr 𝐵)
11 ssidd 3987 . . . . 5 (𝐵𝐴𝐵𝐵)
12113anim2i 1145 . . . 4 ((𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → (𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵 ≠ ∅))
1312adantl 482 . . 3 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵 ≠ ∅))
14 frinfm 34891 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
1510, 13, 14syl2anc 584 . 2 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
167, 15jca 512 1 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057   Or wor 5466   Fr wfr 5504   We wwe 5506  ccnv 5547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-br 5058  df-opab 5120  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-cnv 5556
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator