Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  welb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem welb 33163
Description: A nonempty subset of a well-ordered set has a lower bound. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
welb ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem welb
StepHypRef Expression
1 wess 5061 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐵))
21impcom 446 . . . . 5 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 We 𝐵)
3 weso 5065 . . . . 5 (𝑅 We 𝐵𝑅 Or 𝐵)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
5 cnvso 5633 . . . 4 (𝑅 Or 𝐵𝑅 Or 𝐵)
64, 5sylib 208 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
763ad2antr2 1225 . 2 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐵)
8 wefr 5064 . . . . 5 (𝑅 We 𝐵𝑅 Fr 𝐵)
92, 8syl 17 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 Fr 𝐵)
1093ad2antr2 1225 . . 3 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Fr 𝐵)
11 ssid 3603 . . . . . 6 𝐵𝐵
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐵𝐴𝐵𝐵)
13123anim2i 1247 . . . 4 ((𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → (𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵 ≠ ∅))
1413adantl 482 . . 3 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵 ≠ ∅))
15 frinfm 33162 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
1610, 14, 15syl2anc 692 . 2 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
177, 16jca 554 1 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  wss 3555  c0 3891   class class class wbr 4613   Or wor 4994   Fr wfr 5030   We wwe 5032  ccnv 5073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-br 4614  df-opab 4674  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-cnv 5082
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator