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Theorem wemapso2lem 8409
Description: Lemma for wemapso2 8410. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
wemapso2.u 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
Assertion
Ref Expression
wemapso2lem (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝑇 Or 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑍(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem wemapso2lem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . 2 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
2 wemapso2.u . . 3 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
3 ssrab2 3671 . . 3 {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} ⊆ (𝐵𝑚 𝐴)
42, 3eqsstri 3619 . 2 𝑈 ⊆ (𝐵𝑚 𝐴)
5 elex 3201 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
653ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
76adantr 481 . 2 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝐴 ∈ V)
8 simpl2 1063 . 2 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝑅 Or 𝐴)
9 simpl3 1064 . 2 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝑆 Or 𝐵)
10 simprll 801 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑈)
11 breq1 4621 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 finSupp 𝑍𝑎 finSupp 𝑍))
1211, 2elrab2 3352 . . . . . . 7 (𝑎𝑈 ↔ (𝑎 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∧ 𝑎 finSupp 𝑍))
1312simprbi 480 . . . . . 6 (𝑎𝑈𝑎 finSupp 𝑍)
1410, 13syl 17 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 finSupp 𝑍)
15 simprlr 802 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝑈)
16 breq1 4621 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 finSupp 𝑍𝑏 finSupp 𝑍))
1716, 2elrab2 3352 . . . . . . 7 (𝑏𝑈 ↔ (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∧ 𝑏 finSupp 𝑍))
1817simprbi 480 . . . . . 6 (𝑏𝑈𝑏 finSupp 𝑍)
1915, 18syl 17 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 finSupp 𝑍)
2014, 19fsuppunfi 8247 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∈ Fin)
214, 10sseldi 3585 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐵𝑚 𝐴))
22 elmapi 7831 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) → 𝑎:𝐴𝐵)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎:𝐴𝐵)
24 ffn 6007 . . . . . . 7 (𝑎:𝐴𝐵𝑎 Fn 𝐴)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 Fn 𝐴)
264, 15sseldi 3585 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 𝐴))
27 elmapi 7831 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) → 𝑏:𝐴𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏:𝐴𝐵)
29 ffn 6007 . . . . . . 7 (𝑏:𝐴𝐵𝑏 Fn 𝐴)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 Fn 𝐴)
31 fndmdif 6282 . . . . . 6 ((𝑎 Fn 𝐴𝑏 Fn 𝐴) → dom (𝑎𝑏) = {𝑐𝐴 ∣ (𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐)})
3225, 30, 31syl2anc 692 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → dom (𝑎𝑏) = {𝑐𝐴 ∣ (𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐)})
33 eqtr3 2642 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝑐) = 𝑍 ∧ (𝑏𝑐) = 𝑍) → (𝑎𝑐) = (𝑏𝑐))
3433necon3ai 2815 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐) → ¬ ((𝑎𝑐) = 𝑍 ∧ (𝑏𝑐) = 𝑍))
35 neorian 2884 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍) ↔ ¬ ((𝑎𝑐) = 𝑍 ∧ (𝑏𝑐) = 𝑍))
3634, 35sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐) → ((𝑎𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍))
37 elun 3736 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ∨ 𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍)))
38 fvex 6163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎𝑐) ∈ V
39 eldifsn 4292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝑎𝑐) ∈ V ∧ (𝑎𝑐) ≠ 𝑍))
4038, 39mpbiran 952 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝑎𝑐) ≠ 𝑍)
4140bicomi 214 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑐) ≠ 𝑍 ↔ (𝑎𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍}))
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → ((𝑎𝑐) ≠ 𝑍 ↔ (𝑎𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍})))
4342anbi2d 739 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → ((𝑐𝐴 ∧ (𝑎𝑐) ≠ 𝑍) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑎𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
4425adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝑎 Fn 𝐴)
457ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝐴 ∈ V)
46 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝑍𝑊)
4746ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝑍𝑊)
48 elsuppfn 7255 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑎𝑐) ≠ 𝑍)))
4944, 45, 47, 48syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑎𝑐) ≠ 𝑍)))
50 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝑐𝐴)
5150biantrurd 529 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → ((𝑎𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑎𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
5243, 49, 513bitr4d 300 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑎𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍})))
5352, 40syl6bb 276 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑎𝑐) ≠ 𝑍))
54 fvex 6163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝑐) ∈ V
55 eldifsn 4292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝑏𝑐) ∈ V ∧ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍))
5654, 55mpbiran 952 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍)
5756bicomi 214 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑐) ≠ 𝑍 ↔ (𝑏𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍}))
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → ((𝑏𝑐) ≠ 𝑍 ↔ (𝑏𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍})))
5958anbi2d 739 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → ((𝑐𝐴 ∧ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
6030adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝑏 Fn 𝐴)
61 simpll1 1098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐴𝑉)
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝐴𝑉)
63 elsuppfn 7255 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 Fn 𝐴𝐴𝑉𝑍𝑊) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍)))
6460, 62, 47, 63syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍)))
6550biantrurd 529 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → ((𝑏𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
6659, 64, 653bitr4d 300 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑏𝑐) ∈ (V ∖ {𝑍})))
6766, 56syl6bb 276 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍))
6853, 67orbi12d 745 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → ((𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ∨ 𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ((𝑎𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍)))
6937, 68syl5bb 272 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ((𝑎𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍)))
7036, 69syl5ibr 236 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → ((𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
7170ralrimiva 2961 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ∀𝑐𝐴 ((𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
72 rabss 3663 . . . . . 6 ({𝑐𝐴 ∣ (𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐)} ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ∀𝑐𝐴 ((𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
7371, 72sylibr 224 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → {𝑐𝐴 ∣ (𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐)} ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
7432, 73eqsstrd 3623 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → dom (𝑎𝑏) ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
75 ssfi 8132 . . . 4 ((((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∈ Fin ∧ dom (𝑎𝑏) ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))) → dom (𝑎𝑏) ∈ Fin)
7620, 74, 75syl2anc 692 . . 3 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → dom (𝑎𝑏) ∈ Fin)
77 suppssdm 7260 . . . . . . . 8 (𝑎 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑎
78 fdm 6013 . . . . . . . . 9 (𝑎:𝐴𝐵 → dom 𝑎 = 𝐴)
7923, 78syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → dom 𝑎 = 𝐴)
8077, 79syl5sseq 3637 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
81 suppssdm 7260 . . . . . . . 8 (𝑏 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑏
82 fdm 6013 . . . . . . . . 9 (𝑏:𝐴𝐵 → dom 𝑏 = 𝐴)
8328, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → dom 𝑏 = 𝐴)
8481, 83syl5sseq 3637 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
8580, 84unssd 3772 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ⊆ 𝐴)
868adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 Or 𝐴)
87 soss 5018 . . . . . 6 (((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
8885, 86, 87sylc 65 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
89 wofi 8161 . . . . 5 ((𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∧ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∈ Fin) → 𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
9088, 20, 89syl2anc 692 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
91 wefr 5069 . . . 4 (𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) → 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
9290, 91syl 17 . . 3 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
93 simprr 795 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑏)
94 fndmdifeq0 6284 . . . . . 6 ((𝑎 Fn 𝐴𝑏 Fn 𝐴) → (dom (𝑎𝑏) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏))
9525, 30, 94syl2anc 692 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (dom (𝑎𝑏) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏))
9695necon3bid 2834 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (dom (𝑎𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎𝑏))
9793, 96mpbird 247 . . 3 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → dom (𝑎𝑏) ≠ ∅)
98 fri 5041 . . 3 (((dom (𝑎𝑏) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))) ∧ (dom (𝑎𝑏) ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∧ dom (𝑎𝑏) ≠ ∅)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
9976, 92, 74, 97, 98syl22anc 1324 . 2 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
1001, 4, 7, 8, 9, 99wemapsolem 8407 1 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝑇 Or 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3189  cdif 3556  cun 3557  wss 3559  c0 3896  {csn 4153   class class class wbr 4618  {copab 4677   Or wor 4999   Fr wfr 5035   We wwe 5037  dom cdm 5079   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610   supp csupp 7247  𝑚 cmap 7809  Fincfn 7907   finSupp cfsupp 8227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-fin 7911  df-fsupp 8228
This theorem is referenced by:  wemapso2  8410
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