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Theorem wemapso2lem 9004
Description: Lemma for wemapso2 9005. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
wemapso2.u 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
Assertion
Ref Expression
wemapso2lem (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝑇 Or 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑍(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem wemapso2lem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . 2 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
2 wemapso2.u . . 3 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
32ssrab3 4054 . 2 𝑈 ⊆ (𝐵m 𝐴)
4 elex 3510 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
543ad2ant1 1125 . . 3 ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
65adantr 481 . 2 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝐴 ∈ V)
7 simpl2 1184 . 2 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝑅 Or 𝐴)
8 simpl3 1185 . 2 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝑆 Or 𝐵)
9 simprll 775 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑈)
10 breq1 5060 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 finSupp 𝑍𝑎 finSupp 𝑍))
1110, 2elrab2 3680 . . . . . . 7 (𝑎𝑈 ↔ (𝑎 ∈ (𝐵m 𝐴) ∧ 𝑎 finSupp 𝑍))
1211simprbi 497 . . . . . 6 (𝑎𝑈𝑎 finSupp 𝑍)
139, 12syl 17 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 finSupp 𝑍)
14 simprlr 776 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝑈)
15 breq1 5060 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 finSupp 𝑍𝑏 finSupp 𝑍))
1615, 2elrab2 3680 . . . . . . 7 (𝑏𝑈 ↔ (𝑏 ∈ (𝐵m 𝐴) ∧ 𝑏 finSupp 𝑍))
1716simprbi 497 . . . . . 6 (𝑏𝑈𝑏 finSupp 𝑍)
1814, 17syl 17 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 finSupp 𝑍)
1913, 18fsuppunfi 8841 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∈ Fin)
203, 9sseldi 3962 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐵m 𝐴))
21 elmapi 8417 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (𝐵m 𝐴) → 𝑎:𝐴𝐵)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎:𝐴𝐵)
2322ffnd 6508 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 Fn 𝐴)
243, 14sseldi 3962 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐵m 𝐴))
25 elmapi 8417 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐵m 𝐴) → 𝑏:𝐴𝐵)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏:𝐴𝐵)
2726ffnd 6508 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 Fn 𝐴)
28 fndmdif 6804 . . . . . 6 ((𝑎 Fn 𝐴𝑏 Fn 𝐴) → dom (𝑎𝑏) = {𝑐𝐴 ∣ (𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐)})
2923, 27, 28syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → dom (𝑎𝑏) = {𝑐𝐴 ∣ (𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐)})
30 neneor 3115 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐) → ((𝑎𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍))
31 elun 4122 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ∨ 𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍)))
32 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝑐𝐴)
3323adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝑎 Fn 𝐴)
346ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝐴 ∈ V)
35 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝑍𝑊)
3635ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝑍𝑊)
37 elsuppfn 7827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑎𝑐) ≠ 𝑍)))
3833, 34, 36, 37syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑎𝑐) ≠ 𝑍)))
3932, 38mpbirand 703 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑎𝑐) ≠ 𝑍))
4027adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝑏 Fn 𝐴)
41 simpll1 1204 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐴𝑉)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝐴𝑉)
43 elsuppfn 7827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 Fn 𝐴𝐴𝑉𝑍𝑊) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍)))
4440, 42, 36, 43syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍)))
4532, 44mpbirand 703 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍))
4639, 45orbi12d 912 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → ((𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ∨ 𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ((𝑎𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍)))
4731, 46syl5bb 284 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ((𝑎𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍)))
4830, 47syl5ibr 247 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → ((𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
4948ralrimiva 3179 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ∀𝑐𝐴 ((𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
50 rabss 4045 . . . . . 6 ({𝑐𝐴 ∣ (𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐)} ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ∀𝑐𝐴 ((𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
5149, 50sylibr 235 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → {𝑐𝐴 ∣ (𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐)} ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
5229, 51eqsstrd 4002 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → dom (𝑎𝑏) ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
5319, 52ssfid 8729 . . 3 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → dom (𝑎𝑏) ∈ Fin)
54 suppssdm 7832 . . . . . . . 8 (𝑎 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑎
5554, 22fssdm 6523 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
56 suppssdm 7832 . . . . . . . 8 (𝑏 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑏
5756, 26fssdm 6523 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
5855, 57unssd 4159 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ⊆ 𝐴)
597adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 Or 𝐴)
60 soss 5486 . . . . . 6 (((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
6158, 59, 60sylc 65 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
62 wofi 8755 . . . . 5 ((𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∧ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∈ Fin) → 𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
6361, 19, 62syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
64 wefr 5538 . . . 4 (𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) → 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
6563, 64syl 17 . . 3 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
66 simprr 769 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑏)
67 fndmdifeq0 6806 . . . . . 6 ((𝑎 Fn 𝐴𝑏 Fn 𝐴) → (dom (𝑎𝑏) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏))
6823, 27, 67syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (dom (𝑎𝑏) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏))
6968necon3bid 3057 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (dom (𝑎𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎𝑏))
7066, 69mpbird 258 . . 3 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → dom (𝑎𝑏) ≠ ∅)
71 fri 5510 . . 3 (((dom (𝑎𝑏) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))) ∧ (dom (𝑎𝑏) ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∧ dom (𝑎𝑏) ≠ ∅)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
7253, 65, 52, 70, 71syl22anc 834 . 2 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
731, 3, 6, 7, 8, 72wemapsolem 9002 1 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝑇 Or 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  cdif 3930  cun 3931  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  {copab 5119   Or wor 5466   Fr wfr 5504   We wwe 5506  dom cdm 5548   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145   supp csupp 7819  m cmap 8395  Fincfn 8497   finSupp cfsupp 8821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-fin 8501  df-fsupp 8822
This theorem is referenced by:  wemapso2  9005
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