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Theorem wepwsolem 38132
Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wepwso.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)))}
wepwso.u 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
wepwso.f 𝐹 = (𝑎 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ↦ (𝑎 “ {1𝑜}))
Assertion
Ref Expression
wepwsolem (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2𝑜𝑚 𝐴), 𝒫 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑇,𝑎   𝑈,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐹(𝑎)

Proof of Theorem wepwsolem
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wepwso.f . . 3 𝐹 = (𝑎 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ↦ (𝑎 “ {1𝑜}))
21pw2f1o2 38125 . 2 (𝐴 ∈ V → 𝐹:(2𝑜𝑚 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴)
3 fvex 6363 . . . . . . . 8 (𝑐𝑧) ∈ V
43epelc 5181 . . . . . . 7 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ↔ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧))
5 elmapi 8047 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) → 𝑏:𝐴⟶2𝑜)
65ad2antrl 766 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) → 𝑏:𝐴⟶2𝑜)
76ffvelrnda 6523 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑏𝑧) ∈ 2𝑜)
8 elmapi 8047 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) → 𝑐:𝐴⟶2𝑜)
98ad2antll 767 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) → 𝑐:𝐴⟶2𝑜)
109ffvelrnda 6523 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜)
11 n0i 4063 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → ¬ (𝑐𝑧) = ∅)
1211adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ¬ (𝑐𝑧) = ∅)
13 elpri 4342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐𝑧) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1𝑜))
14 df2o3 7744 . . . . . . . . . . . . . 14 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
1513, 14eleq2s 2857 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑧) ∈ 2𝑜 → ((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1𝑜))
1615ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1𝑜))
17 orel1 396 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑐𝑧) = ∅ → (((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1𝑜) → (𝑐𝑧) = 1𝑜))
1812, 16, 17sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → (𝑐𝑧) = 1𝑜)
19 1on 7737 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 ∈ On
2019onirri 5995 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 1𝑜 ∈ 1𝑜
21 eleq12 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏𝑧) = 1𝑜 ∧ (𝑐𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ 1𝑜 ∈ 1𝑜))
2221biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏𝑧) = 1𝑜 ∧ (𝑐𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → 1𝑜 ∈ 1𝑜))
2322expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐𝑧) = 1𝑜 → ((𝑏𝑧) = 1𝑜 → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → 1𝑜 ∈ 1𝑜)))
2423com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → ((𝑐𝑧) = 1𝑜 → ((𝑏𝑧) = 1𝑜 → 1𝑜 ∈ 1𝑜)))
2524imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ∧ (𝑐𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏𝑧) = 1𝑜 → 1𝑜 ∈ 1𝑜))
2625adantll 752 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) ∧ (𝑐𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏𝑧) = 1𝑜 → 1𝑜 ∈ 1𝑜))
2720, 26mtoi 190 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) ∧ (𝑐𝑧) = 1𝑜) → ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)
2818, 27mpdan 705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)
2918, 28jca 555 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜))
30 elpri 4342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝑧) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1𝑜))
3130, 14eleq2s 2857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 → ((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1𝑜))
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) → ((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1𝑜))
33 orel2 397 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜 → (((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1𝑜) → (𝑏𝑧) = ∅))
3432, 33mpan9 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜) → (𝑏𝑧) = ∅)
3534adantrl 754 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)) → (𝑏𝑧) = ∅)
36 0lt1o 7755 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ 1𝑜
3735, 36syl6eqel 2847 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)) → (𝑏𝑧) ∈ 1𝑜)
38 simprl 811 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)) → (𝑐𝑧) = 1𝑜)
3937, 38eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)) → (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧))
4029, 39impbida 913 . . . . . . . . 9 (((𝑏𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2𝑜) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)))
417, 10, 40syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)))
42 simplrr 820 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))
431pw2f1o2val2 38127 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑧) = 1𝑜))
4442, 43sylancom 704 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑧) = 1𝑜))
45 simplrl 819 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))
461pw2f1o2val2 38127 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑧) = 1𝑜))
4745, 46sylancom 704 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑧) = 1𝑜))
4847notbid 307 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏) ↔ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜))
4944, 48anbi12d 749 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ↔ ((𝑐𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1𝑜)))
5041, 49bitr4d 271 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏))))
514, 50syl5bb 272 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏))))
526ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑏𝑤) ∈ 2𝑜)
539ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜)
54 eqeq1 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) → ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
55 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏𝑤) = ∅)
56 1n0 7746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1𝑜 ≠ ∅
5756nesymi 2989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ ∅ = 1𝑜
58 eqeq1 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏𝑤) = ∅ → ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ ∅ = 1𝑜))
5957, 58mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏𝑤) = ∅ → ¬ (𝑏𝑤) = 1𝑜)
6059ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → ¬ (𝑏𝑤) = 1𝑜)
61 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
6260, 61mtbid 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → ¬ (𝑐𝑤) = 1𝑜)
63 elpri 4342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐𝑤) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
6463, 14eleq2s 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐𝑤) ∈ 2𝑜 → ((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
6564ad3antlr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → ((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
66 orel2 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑐𝑤) = 1𝑜 → (((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1𝑜) → (𝑐𝑤) = ∅))
6762, 65, 66sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → (𝑐𝑤) = ∅)
6855, 67eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))
6968ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) → (((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
70 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏𝑤) = 1𝑜)
71 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
7270, 71mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → (𝑐𝑤) = 1𝑜)
7370, 72eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))
7473ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏𝑤) = 1𝑜) → (((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
75 elpri 4342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑤) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑏𝑤) = ∅ ∨ (𝑏𝑤) = 1𝑜))
7675, 14eleq2s 2857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 → ((𝑏𝑤) = ∅ ∨ (𝑏𝑤) = 1𝑜))
7776adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) → ((𝑏𝑤) = ∅ ∨ (𝑏𝑤) = 1𝑜))
7869, 74, 77mpjaodan 862 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) → (((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
7954, 78impbid2 216 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2𝑜) → ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) ↔ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)))
8052, 53, 79syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) ↔ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)))
81 simplrl 819 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))
821pw2f1o2val2 38127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑤) = 1𝑜))
8381, 82sylancom 704 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑤) = 1𝑜))
84 simplrr 820 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))
851pw2f1o2val2 38127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
8684, 85sylancom 704 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜))
8783, 86bibi12d 334 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)) ↔ ((𝑏𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐𝑤) = 1𝑜)))
8880, 87bitr4d 271 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))
8988imbi2d 329 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
9089ralbidva 3123 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
9190adantr 472 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
9251, 91anbi12d 749 . . . . 5 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
9392rexbidva 3187 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) → (∃𝑧𝐴 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
94 vex 3343 . . . . 5 𝑏 ∈ V
95 vex 3343 . . . . 5 𝑐 ∈ V
96 fveq1 6352 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥𝑧) = (𝑏𝑧))
97 fveq1 6352 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦𝑧) = (𝑐𝑧))
9896, 97breqan12d 4820 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ↔ (𝑏𝑧) E (𝑐𝑧)))
99 fveq1 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥𝑤) = (𝑏𝑤))
100 fveq1 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦𝑤) = (𝑐𝑤))
10199, 100eqeqan12d 2776 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → ((𝑥𝑤) = (𝑦𝑤) ↔ (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
102101imbi2d 329 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))))
103102ralbidv 3124 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))))
10498, 103anbi12d 749 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → (((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))))
105104rexbidv 3190 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → (∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))))
106 wepwso.u . . . . 5 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
10794, 95, 105, 106braba 5142 . . . 4 (𝑏𝑈𝑐 ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))))
108 fvex 6363 . . . . 5 (𝐹𝑏) ∈ V
109 fvex 6363 . . . . 5 (𝐹𝑐) ∈ V
110 eleq2 2828 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑐) → (𝑧𝑦𝑧 ∈ (𝐹𝑐)))
111 eleq2 2828 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑏) → (𝑧𝑥𝑧 ∈ (𝐹𝑏)))
112111notbid 307 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑏) → (¬ 𝑧𝑥 ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)))
113110, 112bi2anan9r 954 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏))))
114 eleq2 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐹𝑏) → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹𝑏)))
115 eleq2 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑐) → (𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))
116114, 115bi2bian9 955 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → ((𝑤𝑥𝑤𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))
117116imbi2d 329 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
118117ralbidv 3124 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
119113, 118anbi12d 749 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → (((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
120119rexbidv 3190 . . . . 5 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → (∃𝑧𝐴 ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦))) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
121 wepwso.t . . . . 5 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)))}
122108, 109, 120, 121braba 5142 . . . 4 ((𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
12393, 107, 1223bitr4g 303 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴))) → (𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐)))
124123ralrimivva 3109 . 2 (𝐴 ∈ V → ∀𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴)∀𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐)))
125 df-isom 6058 . 2 (𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2𝑜𝑚 𝐴), 𝒫 𝐴) ↔ (𝐹:(2𝑜𝑚 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴)∀𝑐 ∈ (2𝑜𝑚 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐))))
1262, 124, 125sylanbrc 701 1 (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2𝑜𝑚 𝐴), 𝒫 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804  {copab 4864  cmpt 4881   E cep 5178  ccnv 5265  cima 5269  wf 6045  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049   Isom wiso 6050  (class class class)co 6814  1𝑜c1o 7723  2𝑜c2o 7724  𝑚 cmap 8025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-1o 7730  df-2o 7731  df-map 8027
This theorem is referenced by:  wepwso  38133
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