Theorem wlk2v2e 27930

Description: In a graph with two vertices and one edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other and back to the first vertex via the same/only edge is a walk. Notice that 𝐺 is a simple graph (without loops) only if 𝑋 ≠ 𝑌. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 8-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlk2v2e.i	⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f	⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x	⊢ 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y	⊢ 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
wlk2v2e.g	⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩

Assertion

Ref	Expression
wlk2v2e	⊢ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃

Proof of Theorem wlk2v2e

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlk2v2e.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩
2		wlk2v2e.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
3	2	opeq2i 4800	. . . . 5 ⊢ ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩ = ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩
4	1, 3	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩
5		wlk2v2e.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
6		wlk2v2e.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ V
7		uspgr2v1e2w 27027	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩ ∈ USPGraph)
8	5, 6, 7	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩ ∈ USPGraph
9	4, 8	eqeltri 2909	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ USPGraph
10		uspgrupgr 26955	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ UPGraph
12		wlk2v2e.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
13	2, 12	wlk2v2elem1 27928	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼
14		wlk2v2e.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
15	5	prid1 4691	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}
16	6	prid2 4692	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌}
17		s3cl 14235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}) → ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ Word {𝑋, 𝑌})
18	15, 16, 15, 17	mp3an 1457	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ Word {𝑋, 𝑌}
19	14, 18	eqeltri 2909	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ Word {𝑋, 𝑌}
20		wrdf 13860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word {𝑋, 𝑌} → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌}
22	14	fveq2i 6667	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)
23		s3len 14250	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) = 3
24	22, 23	eqtr2i 2845	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (♯‘𝑃)
25	24	oveq2i 7161	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = (0..^(♯‘𝑃))
26	25	feq2i 6500	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌})
27	21, 26	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ 𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌}
28	12	fveq2i 6667	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“00”⟩)
29		s2len 14245	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“00”⟩) = 2
30	28, 29	eqtri 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
31	30	oveq2i 7161	. . . . . . 7 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...2)
32		3z 12009	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
33		fzoval 13033	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^3) = (0...(3 − 1))
35		3m1e2 11759	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
36	35	oveq2i 7161	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...2)
37	34, 36	eqtr2i 2845	. . . . . . 7 ⊢ (0...2) = (0..^3)
38	31, 37	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0..^3)
39	38	feq2i 6500	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌})
40	27, 39	mpbir 233	. . . 4 ⊢ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌}
41	2, 12, 5, 6, 14	wlk2v2elem2 27929	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
42	13, 40, 41	3pm3.2i 1335	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
43	1	fveq2i 6667	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩)
44		prex 5324	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
45		s1cli 13953	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩ ∈ Word V
46	2, 45	eqeltri 2909	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ Word V
47		opvtxfv 26783	. . . . . 6 ⊢ (({𝑋, 𝑌} ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word V) → (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = {𝑋, 𝑌})
48	44, 46, 47	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = {𝑋, 𝑌}
49	43, 48	eqtr2i 2845	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = (Vtx‘𝐺)
50	1	fveq2i 6667	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩)
51		opiedgfv 26786	. . . . . 6 ⊢ (({𝑋, 𝑌} ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word V) → (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = 𝐼)
52	44, 46, 51	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = 𝐼
53	50, 52	eqtr2i 2845	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
54	49, 53	upgriswlk 27416	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
55	42, 54	mpbiri 260	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
56	11, 55	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃

Syntax hints:   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  Vcvv 3494  {cpr 4562  ⟨cop 4566   class class class wbr 5058  dom cdm 5549  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   − cmin 10864  2c2 11686  3c3 11687  ℤcz 11975  ...cfz 12886  ..^cfzo 13027  ♯chash 13684  Word cword 13855  ⟨“cs1 13943  ⟨“cs2 14197  ⟨“cs3 14198  Vtxcvtx 26775  iEdgciedg 26776  UPGraphcupgr 26859  USPGraphcuspgr 26927  Walkscwlks 27372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13917  df-s1 13944  df-s2 14204  df-s3 14205  df-vtx 26777  df-iedg 26778  df-edg 26827  df-uhgr 26837  df-upgr 26861  df-uspgr 26929  df-wlks 27375

This theorem is referenced by: (None)