MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlk2v2elem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlk2v2elem2 27306
Description: Lemma 2 for wlk2v2e 27307: The values of 𝐼 after 𝐹 are edges between two vertices enumerated by 𝑃. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlk2v2e.i 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
Assertion
Ref Expression
wlk2v2elem2 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem wlk2v2elem2
StepHypRef Expression
1 wlk2v2e.f . . . . . . 7 𝐹 = ⟨“00”⟩
21fveq1i 6351 . . . . . 6 (𝐹‘0) = (⟨“00”⟩‘0)
3 0z 11578 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
4 s2fv0 13830 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘0) = 0)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨“00”⟩‘0) = 0
62, 5eqtri 2780 . . . . 5 (𝐹‘0) = 0
76fveq2i 6353 . . . 4 (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘0)
8 wlk2v2e.i . . . . . 6 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
98fveq1i 6351 . . . . 5 (𝐼‘0) = (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0)
10 prex 5056 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌} ∈ V
11 s1fv 13579 . . . . . 6 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌})
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌}
139, 12eqtri 2780 . . . 4 (𝐼‘0) = {𝑋, 𝑌}
14 wlk2v2e.p . . . . . . . 8 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
1514fveq1i 6351 . . . . . . 7 (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0)
16 wlk2v2e.x . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V
17 s3fv0 13834 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋
1915, 18eqtri 2780 . . . . . 6 (𝑃‘0) = 𝑋
2014fveq1i 6351 . . . . . . 7 (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1)
21 wlk2v2e.y . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
22 s3fv1 13835 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌
2420, 23eqtri 2780 . . . . . 6 (𝑃‘1) = 𝑌
2519, 24preq12i 4415 . . . . 5 {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌}
2625eqcomi 2767 . . . 4 {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
277, 13, 263eqtri 2784 . . 3 (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
281fveq1i 6351 . . . . . 6 (𝐹‘1) = (⟨“00”⟩‘1)
29 s2fv1 13831 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘1) = 0)
303, 29ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨“00”⟩‘1) = 0
3128, 30eqtri 2780 . . . . 5 (𝐹‘1) = 0
3231fveq2i 6353 . . . 4 (𝐼‘(𝐹‘1)) = (𝐼‘0)
33 prcom 4409 . . . . 5 {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
3414fveq1i 6351 . . . . . . . 8 (𝑃‘2) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2)
35 s3fv2 13836 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋)
3616, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋
3734, 36eqtri 2780 . . . . . . 7 (𝑃‘2) = 𝑋
3824, 37preq12i 4415 . . . . . 6 {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝑌, 𝑋}
3938eqcomi 2767 . . . . 5 {𝑌, 𝑋} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
4033, 39eqtri 2780 . . . 4 {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
4132, 13, 403eqtri 2784 . . 3 (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
42 2wlklem 26771 . . 3 (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
4327, 41, 42mpbir2an 993 . 2 𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
44 s2cli 13823 . . . . . . 7 ⟨“00”⟩ ∈ Word V
451, 44eqeltri 2833 . . . . . 6 𝐹 ∈ Word V
46 wrddm 13496 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word V → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
4745, 46ax-mp 5 . . . . 5 dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))
4847eqcomi 2767 . . . 4 (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹
491dmeqi 5478 . . . 4 dom 𝐹 = dom ⟨“00”⟩
50 s2dm 13833 . . . 4 dom ⟨“00”⟩ = {0, 1}
5148, 49, 503eqtri 2784 . . 3 (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1}
5251raleqi 3279 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
5343, 52mpbir 221 1 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1630  wcel 2137  wral 3048  Vcvv 3338  {cpr 4321  dom cdm 5264  cfv 6047  (class class class)co 6811  0cc0 10126  1c1 10127   + caddc 10129  2c2 11260  cz 11567  ..^cfzo 12657  chash 13309  Word cword 13475  ⟨“cs1 13478  ⟨“cs2 13784  ⟨“cs3 13785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-hash 13310  df-word 13483  df-concat 13485  df-s1 13486  df-s2 13791  df-s3 13792
This theorem is referenced by:  wlk2v2e  27307
  Copyright terms: Public domain W3C validator