MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkcomp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkcomp 27339
Description: A walk expressed by properties of its components. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkcomp.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkcomp.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkcomp.1 𝐹 = (1st𝑊)
wlkcomp.2 𝑃 = (2nd𝑊)
Assertion
Ref Expression
wlkcomp ((𝐺𝑈𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇)) → (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝑈(𝑘)   𝐼(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem wlkcomp
StepHypRef Expression
1 wlkcomp.1 . . . . . . 7 𝐹 = (1st𝑊)
21eqcomi 2827 . . . . . 6 (1st𝑊) = 𝐹
3 wlkcomp.2 . . . . . . 7 𝑃 = (2nd𝑊)
43eqcomi 2827 . . . . . 6 (2nd𝑊) = 𝑃
52, 4pm3.2i 471 . . . . 5 ((1st𝑊) = 𝐹 ∧ (2nd𝑊) = 𝑃)
6 eqop 7720 . . . . 5 (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝑊 = ⟨𝐹, 𝑃⟩ ↔ ((1st𝑊) = 𝐹 ∧ (2nd𝑊) = 𝑃)))
75, 6mpbiri 259 . . . 4 (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → 𝑊 = ⟨𝐹, 𝑃⟩)
87eleq1d 2894 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺)))
9 df-br 5058 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
108, 9syl6bbr 290 . 2 (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃))
11 wlkcomp.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12 wlkcomp.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
1311, 12iswlkg 27322 . 2 (𝐺𝑈 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
1410, 13sylan9bbr 511 1 ((𝐺𝑈𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇)) → (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  if-wif 1054  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wss 3933  {csn 4557  {cpr 4559  cop 4563   class class class wbr 5057   × cxp 5546  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  1st c1st 7676  2nd c2nd 7677  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  chash 13678  Word cword 13849  Vtxcvtx 26708  iEdgciedg 26709  Walkscwlks 27305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-ifp 1055  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-wlks 27308
This theorem is referenced by:  wlkcompim  27340
  Copyright terms: Public domain W3C validator