Theorem wlkdlem3 27468

Description: Lemma 3 for wlkd 27470. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
wlkd.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
wlkdlem3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘

Proof of Theorem wlkdlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
2		wlkd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
3		wlkd.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
4		wlkd.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
5	2, 1, 3, 4	wlkdlem2 27467	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
6		elfvdm 6704	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ dom 𝐼)
7	6	ralimi 3162	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑘) ∈ dom 𝐼)
8	5, 7	simpl2im 506	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑘) ∈ dom 𝐼)
9		iswrdsymb 13883	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word V ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑘) ∈ dom 𝐼) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
10	1, 8, 9	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  {cpr 4571  dom cdm 5557  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   − cmin 10872  ℕcn 11640  ..^cfzo 13036  ♯chash 13693  Word cword 13864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865

This theorem is referenced by:  wlkd  27470