MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkdvspth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkdvspth 25900
Description: A walk consisting of different vertices is a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
wlkdvspth ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃)

Proof of Theorem wlkdvspth
Dummy variables 𝑘 𝑒 𝑓 𝑝 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-wlk 25798 . . . 4 Walks = (𝑣 ∈ V, 𝑒 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝑒𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑣 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝑒‘(𝑓𝑘)) = {(𝑝𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})
21brovmpt2ex 7209 . . 3 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
3 simpr1 1059 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ Fun 𝑃) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
4 df-f1 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1𝑉 ↔ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ Fun 𝑃))
5 wlkdvspthlem 25899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → Fun 𝐹)
653exp 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1𝑉 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → Fun 𝐹)))
76com3l 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1𝑉 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → Fun 𝐹)))
84, 7sylbir 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ Fun 𝑃) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → Fun 𝐹)))
98expcom 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Fun 𝑃 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → Fun 𝐹))))
109com14 93 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (Fun 𝑃 → Fun 𝐹))))
11103imp 1248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (Fun 𝑃 → Fun 𝐹))
1211com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑃 → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → Fun 𝐹))
1312adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ Fun 𝑃) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → Fun 𝐹))
1413imp 443 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ Fun 𝑃) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})) → Fun 𝐹)
153, 14jca 552 . . . . . . . . . 10 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ Fun 𝑃) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun 𝐹))
16 simpr2 1060 . . . . . . . . . 10 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ Fun 𝑃) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
17 simpr3 1061 . . . . . . . . . 10 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ Fun 𝑃) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
1815, 16, 173jca 1234 . . . . . . . . 9 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ Fun 𝑃) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
1918ex 448 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ Fun 𝑃) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
20 iswlk 25810 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
2120adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ Fun 𝑃) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
22 istrl 25829 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
2322adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ Fun 𝑃) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
2419, 21, 233imtr4d 281 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ Fun 𝑃) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃))
25 simpr 475 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ Fun 𝑃) → Fun 𝑃)
2624, 25jctird 564 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ Fun 𝑃) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
27 isspth 25861 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
2827bicomd 211 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃) ↔ 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃))
2928adantr 479 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ Fun 𝑃) → ((𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃) ↔ 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃))
3026, 29sylibd 227 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ Fun 𝑃) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃))
3130ex 448 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (Fun 𝑃 → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃)))
3231com23 83 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (Fun 𝑃𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃)))
332, 32mpcom 37 . 2 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (Fun 𝑃𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃))
3433imp 443 1 ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  Vcvv 3168  {cpr 4122   class class class wbr 4573  ccnv 5023  dom cdm 5024  Fun wfun 5780  wf 5782  1-1wf1 5783  cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791  ...cfz 12148  ..^cfzo 12285  #chash 12930  Word cword 13088   Walks cwalk 25788   Trails ctrail 25789   SPaths cspath 25791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-wlk 25798  df-trail 25799  df-spth 25801
This theorem is referenced by:  usg2wotspth  26173
  Copyright terms: Public domain W3C validator