Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkiswwlks2lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkiswwlks2lem5 26827
 Description: Lemma 5 for wlkiswwlks2 26829. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 10-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkiswwlks2lem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
wlkiswwlks2lem.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlks2lem5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑃,𝑖   𝑖,𝑉,𝑥   𝑖,𝐸   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem wlkiswwlks2lem5
StepHypRef Expression
1 wlkiswwlks2lem.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
21uspgrf1oedg 26113 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺))
31rneqi 5384 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐸 = ran (iEdg‘𝐺)
4 edgval 25986 . . . . . . . . . . 11 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
53, 4eqtr4i 2676 . . . . . . . . . 10 ran 𝐸 = (Edg‘𝐺)
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USPGraph → ran 𝐸 = (Edg‘𝐺))
76f1oeq3d 6172 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USPGraph → (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺)))
82, 7mpbird 247 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
983ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
109ad2antrr 762 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
11 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
12 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑥 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑥))
13 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 + 1) = (𝑥 + 1))
1413fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑥 + 1)))
1512, 14preq12d 4308 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑥 → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
1615eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
1716adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) ∧ 𝑖 = 𝑥) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
1811, 17rspcdv 3343 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
1918impancom 455 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
2019imp 444 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)
21 f1ocnvdm 6580 . . . . 5 ((𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
2210, 20, 21syl2anc 694 . . . 4 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
23 wlkiswwlks2lem.f . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
2422, 23fmptd 6425 . . 3 (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → 𝐹:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸)
25 iswrdi 13341 . . 3 (𝐹:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
2624, 25syl 17 . 2 (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
2726ex 449 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  {cpr 4212   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ◡ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  iEdgciedg 25920  Edgcedg 25984  USPGraphcuspgr 26088 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-word 13331  df-edg 25985  df-uspgr 26090 This theorem is referenced by:  wlkiswwlks2lem6  26828
 Copyright terms: Public domain W3C validator