Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlklenvclwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlklenvclwlk 26420
 Description: The number of vertices in a walk equals the length of the walk after it is "closed" (i.e. enhanced by an edge from its last vertex to its first vertex). (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
wlklenvclwlk ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (#‘𝐹) = (#‘𝑊)))

Proof of Theorem wlklenvclwlk
StepHypRef Expression
1 df-br 4614 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ↔ ⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
2 wlklenvp1 26384 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((#‘𝐹) + 1))
3 wlkcl 26381 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
4 wrdsymb1 13281 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
54s1cld 13322 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
6 ccatlen 13299 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((#‘𝑊) + (#‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
75, 6syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((#‘𝑊) + (#‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
8 s1len 13324 . . . . . . . . . 10 (#‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
98a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1)
109oveq2d 6620 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) + (#‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((#‘𝑊) + 1))
117, 10eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((#‘𝑊) + 1))
1211eqeq1d 2623 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((#‘𝐹) + 1) ↔ ((#‘𝑊) + 1) = ((#‘𝐹) + 1)))
13 lencl 13263 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
14 eqcom 2628 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) + 1) = ((#‘𝐹) + 1) ↔ ((#‘𝐹) + 1) = ((#‘𝑊) + 1))
15 nn0cn 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
1615adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
17 nn0cn 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
1817adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
19 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
2016, 18, 19addcan2d 10184 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((#‘𝐹) + 1) = ((#‘𝑊) + 1) ↔ (#‘𝐹) = (#‘𝑊)))
2120biimpd 219 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((#‘𝐹) + 1) = ((#‘𝑊) + 1) → (#‘𝐹) = (#‘𝑊)))
2214, 21syl5bi 232 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((#‘𝑊) + 1) = ((#‘𝐹) + 1) → (#‘𝐹) = (#‘𝑊)))
2322ex 450 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) + 1) = ((#‘𝐹) + 1) → (#‘𝐹) = (#‘𝑊))))
2423com23 86 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) + 1) = ((#‘𝐹) + 1) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) = (#‘𝑊))))
2513, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((#‘𝑊) + 1) = ((#‘𝐹) + 1) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) = (#‘𝑊))))
2625adantr 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) + 1) = ((#‘𝐹) + 1) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) = (#‘𝑊))))
2712, 26sylbid 230 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((#‘𝐹) + 1) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) = (#‘𝑊))))
2827com3l 89 . . . 4 ((#‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((#‘𝐹) + 1) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝐹) = (#‘𝑊))))
292, 3, 28sylc 65 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝐹) = (#‘𝑊)))
301, 29sylbir 225 . 2 (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝐹) = (#‘𝑊)))
3130com12 32 1 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (#‘𝐹) = (#‘𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ⟨cop 4154   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   ≤ cle 10019  ℕ0cn0 11236  #chash 13057  Word cword 13230   ++ cconcat 13232  ⟨“cs1 13233  Vtxcvtx 25774  Walkscwlks 26362 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-wlks 26365 This theorem is referenced by:  clwlksfoclwwlk  26829
 Copyright terms: Public domain W3C validator