Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkn0 26386
 Description: The sequence of vertices of a walk cannot be empty, i.e. a walk always consists of at least one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
wlkn0 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃 ≠ ∅)

Proof of Theorem wlkn0
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21wlkp 26382 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
3 fdm 6008 . . . . 5 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → dom 𝑃 = (0...(#‘𝐹)))
43eqcomd 2627 . . . 4 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (0...(#‘𝐹)) = dom 𝑃)
52, 4syl 17 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(#‘𝐹)) = dom 𝑃)
6 wlkcl 26381 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
7 elnn0uz 11669 . . . . 5 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝐹) ∈ (ℤ‘0))
8 fzn0 12297 . . . . 5 ((0...(#‘𝐹)) ≠ ∅ ↔ (#‘𝐹) ∈ (ℤ‘0))
97, 8sylbb2 228 . . . 4 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0...(#‘𝐹)) ≠ ∅)
106, 9syl 17 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(#‘𝐹)) ≠ ∅)
115, 10eqnetrrd 2858 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → dom 𝑃 ≠ ∅)
12 frel 6007 . . . 4 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → Rel 𝑃)
132, 12syl 17 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → Rel 𝑃)
14 reldm0 5303 . . . 4 (Rel 𝑃 → (𝑃 = ∅ ↔ dom 𝑃 = ∅))
1514necon3bid 2834 . . 3 (Rel 𝑃 → (𝑃 ≠ ∅ ↔ dom 𝑃 ≠ ∅))
1613, 15syl 17 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ≠ ∅ ↔ dom 𝑃 ≠ ∅))
1711, 16mpbird 247 1 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃 ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∅c0 3891   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  Rel wrel 5079  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  ℕ0cn0 11236  ℤ≥cuz 11631  ...cfz 12268  #chash 13057  Vtxcvtx 25774  Walkscwlks 26362 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-wlks 26365 This theorem is referenced by:  wlkvv  26392  g0wlk0  26417  wlkiswwlks1  26622  wlknewwlksn  26642
 Copyright terms: Public domain W3C validator