MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkonwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkonwlk 25827
Description: A walk is a walk between its endpoints. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
wlkonwlk (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃)

Proof of Theorem wlkonwlk
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
2 eqidd 2606 . 2 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘0))
3 eqidd 2606 . 2 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
4 wlkbprop 25813 . . . 4 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
54simp2d 1066 . . 3 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
64simp3d 1067 . . 3 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
7 2mwlk 25811 . . . 4 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉))
8 simpr 475 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
9 lencl 13121 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
10 0nn0 11150 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
12 id 22 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
13 nn0ge0 11161 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (#‘𝐹))
1411, 12, 133jca 1234 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (#‘𝐹)))
159, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (0 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (#‘𝐹)))
1615adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (0 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (#‘𝐹)))
17 elfz2nn0 12251 . . . . . . 7 (0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (#‘𝐹)))
1816, 17sylibr 222 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))
198, 18ffvelrnd 6249 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
20 nn0re 11144 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
2120leidd 10439 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ≤ (#‘𝐹))
2212, 12, 213jca 1234 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ≤ (#‘𝐹)))
239, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ≤ (#‘𝐹)))
2423adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ≤ (#‘𝐹)))
25 elfz2nn0 12251 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)) ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ≤ (#‘𝐹)))
2624, 25sylibr 222 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)))
278, 26ffvelrnd 6249 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ 𝑉)
2819, 27jca 552 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ 𝑉))
297, 28syl 17 . . 3 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ 𝑉))
30 iswlkon 25824 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ 𝑉)) → (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
315, 6, 29, 30syl3anc 1317 . 2 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
321, 2, 3, 31mpbir3and 1237 1 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3168   class class class wbr 4573  dom cdm 5024  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788  cle 9927  0cn0 11135  ...cfz 12148  #chash 12930  Word cword 13088   Walks cwalk 25788   WalkOn cwlkon 25792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-wlk 25798  df-wlkon 25804
This theorem is referenced by:  cyclispthon  25923
  Copyright terms: Public domain W3C validator