Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkp1lem2 26777
 Description: Lemma for wlkp1 26784. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (𝜑𝐵 ∈ V)
wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem2 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))

Proof of Theorem wlkp1lem2
StepHypRef Expression
1 wlkp1.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
21fveq2i 6351 . . 3 (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})))
4 opex 5077 . . 3 𝑁, 𝐵⟩ ∈ V
5 wlkp1.w . . . . 5 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6 wlkp1.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
76wlkf 26716 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
8 wrdfin 13505 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹 ∈ Fin)
95, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ Fin)
10 wlkp1.n . . . . . 6 𝑁 = (♯‘𝐹)
11 fzonel 12673 . . . . . . . 8 ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
13 eleq1 2823 . . . . . . . 8 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
1413notbid 307 . . . . . . 7 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
1512, 14syl5ibr 236 . . . . . 6 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
1610, 15ax-mp 5 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17 wrdfn 13501 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
185, 7, 173syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
19 fnop 6151 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
2019ex 449 . . . . . 6 (𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
2118, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
2216, 21mtod 189 . . . 4 (𝜑 → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
239, 22jca 555 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))
24 hashunsng 13369 . . 3 (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V → ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + 1)))
254, 23, 24mpsyl 68 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + 1))
2610eqcomi 2765 . . . 4 (♯‘𝐹) = 𝑁
2726a1i 11 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐹) = 𝑁)
2827oveq1d 6824 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
293, 25, 283eqtrd 2794 1 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1628   ∈ wcel 2135  Vcvv 3336   ∪ cun 3709   ⊆ wss 3711  {csn 4317  {cpr 4319  ⟨cop 4323   class class class wbr 4800  dom cdm 5262  Fun wfun 6039   Fn wfn 6040  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809  Fincfn 8117  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127  ..^cfzo 12655  ♯chash 13307  Word cword 13473  Vtxcvtx 26069  iEdgciedg 26070  Edgcedg 26134  Walkscwlks 26698 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-hash 13308  df-word 13481  df-wlks 26701 This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  26783  wlkp1  26784  eupthp1  27364
 Copyright terms: Public domain W3C validator