MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkp1lem5 26784
Description: Lemma for wlkp1 26788. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (𝜑𝐵 ∈ V)
wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑘) = (𝑃𝑘))
Distinct variable group:   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑄(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝐼(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem wlkp1lem5
StepHypRef Expression
1 wlkp1.q . . . 4 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
21fveq1i 6353 . . 3 (𝑄𝑘) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘𝑘)
3 fzp1nel 12617 . . . . . . . . 9 ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)
4 eleq1 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)))
54notbid 307 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)))
65eqcoms 2768 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) = 𝑘 → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)))
73, 6mpbiri 248 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) = 𝑘 → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 + 1) = 𝑘 → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
98con2d 129 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝑁 + 1) = 𝑘))
109imp 444 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝑁 + 1) = 𝑘)
1110neqned 2939 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)
12 fvunsn 6609 . . . 4 ((𝑁 + 1) ≠ 𝑘 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘𝑘) = (𝑃𝑘))
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘𝑘) = (𝑃𝑘))
142, 13syl5eq 2806 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑄𝑘) = (𝑃𝑘))
1514ralrimiva 3104 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑘) = (𝑃𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  Vcvv 3340  cun 3713  wss 3715  {csn 4321  {cpr 4323  cop 4327   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  Fun wfun 6043  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  ...cfz 12519  chash 13311  Vtxcvtx 26073  iEdgciedg 26074  Edgcedg 26138  Walkscwlks 26702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-z 11570  df-fz 12520
This theorem is referenced by:  wlkp1lem6  26785  wlkp1lem7  26786  wlkp1lem8  26787  eupth2eucrct  27369
  Copyright terms: Public domain W3C validator