MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdcctswrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdcctswrd 13171
Description: The concatenation of two parts of a word yields the word itself. (Contributed by AV, 21-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdcctswrd ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑀⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝑀, (#‘𝑊)⟩)) = 𝑊)

Proof of Theorem wrdcctswrd
StepHypRef Expression
1 simpl 471 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 elfznn0 12166 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3 0elfz 12169 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝑀))
54adantl 480 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 0 ∈ (0...𝑀))
6 simpr 475 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑊)))
7 lencl 13033 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
8 nn0fz0 12170 . . . . 5 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
97, 8sylib 206 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
109adantr 479 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
11 ccatswrd 13162 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑀⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝑀, (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
121, 5, 6, 10, 11syl13anc 1319 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑀⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝑀, (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
13 swrdid 13134 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
1413adantr 479 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
1512, 14eqtrd 2548 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑀⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝑀, (#‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  cop 4034  cfv 5689  (class class class)co 6425  0cc0 9689  0cn0 11045  ...cfz 12061  #chash 12843  Word cword 13000   ++ cconcat 13002   substr csubstr 13004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-1o 7321  df-oadd 7325  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719  df-card 8522  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-nn 10774  df-n0 11046  df-z 11117  df-uz 11424  df-fz 12062  df-fzo 12199  df-hash 12844  df-word 13008  df-concat 13010  df-substr 13012
This theorem is referenced by:  lencctswrd  13172
  Copyright terms: Public domain W3C validator