Theorem wrdexb 13867

Description: The set of words over a set is a set, bidirectional version. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexb	⊢ (𝑆 ∈ V ↔ Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexb

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdexg 13865	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ V → Word 𝑆 ∈ V)
2		opex 5348	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ V
3	2	snid 4594	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ {⟨0, 𝑠⟩}
4		snopiswrd 13864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → {⟨0, 𝑠⟩} ∈ Word 𝑆)
5		elunii 4836	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨0, 𝑠⟩ ∈ {⟨0, 𝑠⟩} ∧ {⟨0, 𝑠⟩} ∈ Word 𝑆) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ∪ Word 𝑆)
6	3, 4, 5	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ∪ Word 𝑆)
7		c0ex 10629	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
8		vex 3497	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
9	7, 8	opeluu 5354	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 𝑠⟩ ∈ ∪ Word 𝑆 → (0 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆))
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → (0 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆))
11	10	simprd 498	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑠 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆)
12	11	ssriv 3970	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆
13		uniexg 7460	. . . 4 ⊢ (Word 𝑆 ∈ V → ∪ Word 𝑆 ∈ V)
14		uniexg 7460	. . . 4 ⊢ (∪ Word 𝑆 ∈ V → ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V)
15		uniexg 7460	. . . 4 ⊢ (∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V → ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V)
16	13, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (Word 𝑆 ∈ V → ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V)
17		ssexg 5219	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∧ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
18	12, 16, 17	sylancr 589	. 2 ⊢ (Word 𝑆 ∈ V → 𝑆 ∈ V)
19	1, 18	impbii 211	1 ⊢ (𝑆 ∈ V ↔ Word 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  {csn 4560  ⟨cop 4566  ∪ cuni 4831  0cc0 10531  Word cword 13855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-word 13856

This theorem is referenced by:  efgrcl  18835