Theorem wrdexg 13347

Description: The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexg	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexg

Dummy variables 𝑠 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdval 13340	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 = ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)))
2		mapsspw 7935	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆)
3		elfzoelz 12509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (0..^𝑙) → 𝑠 ∈ ℤ)
4	3	ssriv 3640	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑙) ⊆ ℤ
5		xpss1 5161	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^𝑙) ⊆ ℤ → ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆)
7		sspwb 4947	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆) ↔ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆))
8	6, 7	mpbi 220	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
9	2, 8	sstri 3645	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
10	9	rgenw 2953	. . . 4 ⊢ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
11		iunss 4593	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆))
12	10, 11	mpbir 221	. . 3 ⊢ ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
13		zex 11424	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
14		xpexg 7002	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (ℤ × 𝑆) ∈ V)
15	13, 14	mpan 706	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (ℤ × 𝑆) ∈ V)
16		pwexg 4880	. . . 4 ⊢ ((ℤ × 𝑆) ∈ V → 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V)
18		ssexg 4837	. . 3 ⊢ ((∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∧ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V) → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
19	12, 17, 18	sylancr 696	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
20	1, 19	eqeltrd 2730	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191  ∪ ciun 4552   × cxp 5141  (class class class)co 6690   ↑_𝑚 cmap 7899  0cc0 9974  ℕ₀cn0 11330  ℤcz 11415  ..^cfzo 12504  Word cword 13323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-map 7901  df-pm 7902  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-word 13331

This theorem is referenced by:  wrdexb  13348  wrdexi  13349  wrdnfi  13370  elovmpt2wrd  13380  elovmptnn0wrd  13381  wrd2f1tovbij  13749  frmdbas  17436  frmdplusg  17438  vrmdfval  17440  efgval  18176  frgp0  18219  frgpmhm  18224  vrgpf  18227  vrgpinv  18228  frgpupf  18232  frgpup1  18234  frgpup2  18235  frgpup3lem  18236  frgpnabllem1  18322  frgpnabllem2  18323  ablfaclem1  18530  israg  25637  wksfval  26561  wksv  26571  wwlks  26783  clwwlk  26951  sseqval  30578  upwlksfval  42041