MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdl2exs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdl2exs2 13486
Description: A word of length 2 is a doubleton word. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
wrdl2exs2 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2) → ∃𝑠𝑆𝑡𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡

Proof of Theorem wrdl2exs2
StepHypRef Expression
1 1le2 11090 . . . 4 1 ≤ 2
2 breq2 4581 . . . 4 ((#‘𝑊) = 2 → (1 ≤ (#‘𝑊) ↔ 1 ≤ 2))
31, 2mpbiri 246 . . 3 ((#‘𝑊) = 2 → 1 ≤ (#‘𝑊))
4 wrdsymb1 13145 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊‘0) ∈ 𝑆)
53, 4sylan2 489 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2) → (𝑊‘0) ∈ 𝑆)
6 lsw 13152 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
7 oveq1 6533 . . . . . 6 ((#‘𝑊) = 2 → ((#‘𝑊) − 1) = (2 − 1))
8 2m1e1 10984 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
97, 8syl6eq 2659 . . . . 5 ((#‘𝑊) = 2 → ((#‘𝑊) − 1) = 1)
109fveq2d 6091 . . . 4 ((#‘𝑊) = 2 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘1))
116, 10sylan9eq 2663 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘1))
12 2nn 11034 . . . 4 2 ∈ ℕ
13 lswlgt0cl 13157 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2)) → ( lastS ‘𝑊) ∈ 𝑆)
1412, 13mpan 701 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2) → ( lastS ‘𝑊) ∈ 𝑆)
1511, 14eqeltrrd 2688 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2) → (𝑊‘1) ∈ 𝑆)
16 wrdlen2s2 13485 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
17 id 22 . . . . 5 (𝑠 = (𝑊‘0) → 𝑠 = (𝑊‘0))
18 eqidd 2610 . . . . 5 (𝑠 = (𝑊‘0) → 𝑡 = 𝑡)
1917, 18s2eqd 13407 . . . 4 (𝑠 = (𝑊‘0) → ⟨“𝑠𝑡”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩)
2019eqeq2d 2619 . . 3 (𝑠 = (𝑊‘0) → (𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩ ↔ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩))
21 eqidd 2610 . . . . 5 (𝑡 = (𝑊‘1) → (𝑊‘0) = (𝑊‘0))
22 id 22 . . . . 5 (𝑡 = (𝑊‘1) → 𝑡 = (𝑊‘1))
2321, 22s2eqd 13407 . . . 4 (𝑡 = (𝑊‘1) → ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
2423eqeq2d 2619 . . 3 (𝑡 = (𝑊‘1) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩ ↔ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩))
2520, 24rspc2ev 3294 . 2 (((𝑊‘0) ∈ 𝑆 ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑆𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) → ∃𝑠𝑆𝑡𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)
265, 15, 16, 25syl3anc 1317 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (#‘𝑊) = 2) → ∃𝑠𝑆𝑡𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896   class class class wbr 4577  cfv 5789  (class class class)co 6526  0cc0 9792  1c1 9793  cle 9931  cmin 10117  cn 10869  2c2 10919  #chash 12936  Word cword 13094   lastS clsw 13095  ⟨“cs2 13385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-hash 12937  df-word 13102  df-lsw 13103  df-concat 13104  df-s1 13105  df-s2 13392
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator