Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdnval 13274
 Description: Words of a fixed length are mappings from a fixed half-open integer interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
wrdnval ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (#‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉𝑚 (0..^𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Proof of Theorem wrdnval
StepHypRef Expression
1 ovex 6632 . . . . . 6 (0..^𝑁) ∈ V
21a1i 11 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ V)
3 elmapg 7815 . . . . 5 ((𝑉𝑋 ∧ (0..^𝑁) ∈ V) → (𝑤 ∈ (𝑉𝑚 (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
42, 3syldan 487 . . . 4 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉𝑚 (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
5 iswrdi 13248 . . . . . . . 8 (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉𝑤 ∈ Word 𝑉)
65adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
7 fnfzo0hash 13172 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (#‘𝑤) = 𝑁)
87adantll 749 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (#‘𝑤) = 𝑁)
96, 8jca 554 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁))
109ex 450 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)))
11 wrdf 13249 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ Word 𝑉𝑤:(0..^(#‘𝑤))⟶𝑉)
12 oveq2 6612 . . . . . . . 8 ((#‘𝑤) = 𝑁 → (0..^(#‘𝑤)) = (0..^𝑁))
1312feq2d 5988 . . . . . . 7 ((#‘𝑤) = 𝑁 → (𝑤:(0..^(#‘𝑤))⟶𝑉𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
1411, 13syl5ibcom 235 . . . . . 6 (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑤) = 𝑁𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
1514imp 445 . . . . 5 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉)
1610, 15impbid1 215 . . . 4 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)))
174, 16bitrd 268 . . 3 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉𝑚 (0..^𝑁)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)))
1817abbi2dv 2739 . 2 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑉𝑚 (0..^𝑁)) = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)})
19 df-rab 2916 . 2 {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (#‘𝑤) = 𝑁} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)}
2018, 19syl6reqr 2674 1 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (#‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉𝑚 (0..^𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {cab 2607  {crab 2911  Vcvv 3186  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↑𝑚 cmap 7802  0cc0 9880  ℕ0cn0 11236  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238 This theorem is referenced by:  wrdmap  13275  hashwrdn  13276
 Copyright terms: Public domain W3C validator