MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdnval 13513
Description: Words of a fixed length are mappings from a fixed half-open integer interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
wrdnval ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉𝑚 (0..^𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Proof of Theorem wrdnval
StepHypRef Expression
1 ovexd 6835 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ V)
2 elmapg 8028 . . . . 5 ((𝑉𝑋 ∧ (0..^𝑁) ∈ V) → (𝑤 ∈ (𝑉𝑚 (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
31, 2syldan 488 . . . 4 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉𝑚 (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
4 iswrdi 13487 . . . . . . . 8 (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉𝑤 ∈ Word 𝑉)
54adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
6 fnfzo0hash 13418 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
76adantll 752 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
85, 7jca 555 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁))
98ex 449 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
10 wrdf 13488 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ Word 𝑉𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉)
11 oveq2 6813 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^𝑁))
1211feq2d 6184 . . . . . . 7 ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
1310, 12syl5ibcom 235 . . . . . 6 (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑤) = 𝑁𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
1413imp 444 . . . . 5 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁) → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉)
159, 14impbid1 215 . . . 4 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
163, 15bitrd 268 . . 3 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉𝑚 (0..^𝑁)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
1716abbi2dv 2872 . 2 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑉𝑚 (0..^𝑁)) = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)})
18 df-rab 3051 . 2 {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)}
1917, 18syl6reqr 2805 1 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉𝑚 (0..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  {cab 2738  {crab 3046  Vcvv 3332  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  𝑚 cmap 8015  0cc0 10120  0cn0 11476  ..^cfzo 12651  chash 13303  Word cword 13469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-hash 13304  df-word 13477
This theorem is referenced by:  wrdmap  13514  hashwrdn  13515
  Copyright terms: Public domain W3C validator