Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdsymb0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdsymb0 13278
 Description: A symbol at a position "outside" of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
wrdsymb0 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐼) → (𝑊𝐼) = ∅))

Proof of Theorem wrdsymb0
StepHypRef Expression
1 wrddm 13251 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)))
2 lencl 13263 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
32nn0zd 11424 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
4 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℤ)
5 0zd 11333 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
6 simpl 473 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
7 nelfzo 12416 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝐼 ∉ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝐼 < 0 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐼)))
84, 5, 6, 7syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∉ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝐼 < 0 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐼)))
98biimpar 502 . . . . . . 7 ((((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐼)) → 𝐼 ∉ (0..^(#‘𝑊)))
10 df-nel 2894 . . . . . . 7 (𝐼 ∉ (0..^(#‘𝑊)) ↔ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
119, 10sylib 208 . . . . . 6 ((((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐼)) → ¬ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
12 eleq2 2687 . . . . . . 7 (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → (𝐼 ∈ dom 𝑊𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))))
1312notbid 308 . . . . . 6 (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → (¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊 ↔ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))))
1411, 13syl5ibr 236 . . . . 5 (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐼)) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))
1514exp4c 635 . . . 4 (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐼 < 0 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))))
161, 3, 15sylc 65 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐼 < 0 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊)))
1716imp 445 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))
18 ndmfv 6175 . 2 𝐼 ∈ dom 𝑊 → (𝑊𝐼) = ∅)
1917, 18syl6 35 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐼) → (𝑊𝐼) = ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∉ wnel 2893  ∅c0 3891   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880   < clt 10018   ≤ cle 10019  ℤcz 11321  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238 This theorem is referenced by:  ccatsymb  13305
 Copyright terms: Public domain W3C validator