MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdumgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdumgr 25900
Description: The property of being an undirected multigraph, expressing the edges as "words". (Contributed by AV, 24-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isumgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isumgr.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wrdumgr ((𝐺𝑈𝐸 ∈ Word 𝑋) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem wrdumgr
StepHypRef Expression
1 isumgr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 isumgr.e . . . 4 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
31, 2isumgrs 25899 . . 3 (𝐺𝑈 → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}))
43adantr 481 . 2 ((𝐺𝑈𝐸 ∈ Word 𝑋) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}))
5 wrdf 13256 . . . . . 6 (𝐸 ∈ Word 𝑋𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶𝑋)
65adantl 482 . . . . 5 ((𝐺𝑈𝐸 ∈ Word 𝑋) → 𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶𝑋)
7 fdm 6013 . . . . 5 (𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶𝑋 → dom 𝐸 = (0..^(#‘𝐸)))
86, 7syl 17 . . . 4 ((𝐺𝑈𝐸 ∈ Word 𝑋) → dom 𝐸 = (0..^(#‘𝐸)))
98feq2d 5993 . . 3 ((𝐺𝑈𝐸 ∈ Word 𝑋) → (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}))
10 iswrdi 13255 . . . 4 (𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} → 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
11 wrdf 13256 . . . 4 (𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} → 𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
1210, 11impbii 199 . . 3 (𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
139, 12syl6bb 276 . 2 ((𝐺𝑈𝐸 ∈ Word 𝑋) → (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}))
144, 13bitrd 268 1 ((𝐺𝑈𝐸 ∈ Word 𝑋) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  𝒫 cpw 4135  dom cdm 5079  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9887  2c2 11021  ..^cfzo 12413  #chash 13064  Word cword 13237  Vtxcvtx 25787  iEdgciedg 25788   UMGraph cumgr 25885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-hash 13065  df-word 13245  df-umgr 25887
This theorem is referenced by:  konigsbergumgr  26991
  Copyright terms: Public domain W3C validator