Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wspn0 26689
 Description: If there are no vertices, then there are no simple paths (of any length), too. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wspn0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wspn0 (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem wspn0
Dummy variables 𝑓 𝑤 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wspthsn 26604 . . . . 5 (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤}
21a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤})
3 wwlknbp2 26621 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
4 wspn0.v . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉 = ∅ → 𝑉 = ∅)
64, 5syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 = ∅ → (Vtx‘𝐺) = ∅)
7 wrdeq 13266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Vtx‘𝐺) = ∅ → Word (Vtx‘𝐺) = Word ∅)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 = ∅ → Word (Vtx‘𝐺) = Word ∅)
98eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 ∈ Word ∅))
10 0wrd0 13270 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ Word ∅ ↔ 𝑤 = ∅)
119, 10syl6bb 276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 = ∅))
1211adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 = ∅))
13 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = ∅ → (#‘𝑤) = (#‘∅))
14 hash0 13098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (#‘∅) = 0
1513, 14syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = ∅ → (#‘𝑤) = 0)
1615eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = ∅ → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 = ∅) → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
18 nn0p1gt0 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
1918gt0ne0d 10536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
20 eqneqall 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 + 1) = 0 → ((𝑁 + 1) ≠ 0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
2120eqcoms 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) ≠ 0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
2221com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 + 1) ≠ 0 → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 = ∅) → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
2517, 24sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 = ∅) → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
2625ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑤 = ∅ → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) → (𝑤 = ∅ → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → (𝑤 = ∅ → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
2912, 28sylbid 230 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
3029com3l 89 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
3130imp 445 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
323, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
3332impcom 446 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
3433ralrimiva 2960 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
35 rabeq0 3931 . . . . 5 ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
3634, 35sylibr 224 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤} = ∅)
372, 36eqtrd 2655 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)
3837ex 450 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) → (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅))
39 df-wspthsn 26594 . . . 4 WSPathsN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝑔) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝑔)𝑤})
4039mpt2ndm0 6828 . . 3 (¬ (𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)
4140a1d 25 . 2 (¬ (𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) → (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅))
4238, 41pm2.61i 176 1 (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3186  ∅c0 3891   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  ℕ0cn0 11236  #chash 13057  Word cword 13230  Vtxcvtx 25774  SPathscspths 26478   WWalksN cwwlksn 26587   WSPathsN cwwspthsn 26589 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-wwlks 26591  df-wwlksn 26592  df-wspthsn 26594 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator