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Theorem wspthsnwspthsnonOLD 27032
Description: Obsolete version of wspthsnwspthsnon 27030 as of 13-Mar-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlksnwwlksnon.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wspthsnwspthsnonOLD ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem wspthsnwspthsnonOLD
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswspthn 26949 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊))
21a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊)))
3 wwlksnwwlksnon.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43wwlksnwwlksnonOLD 27031 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
54anbi1d 743 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊)))
6 r19.41vv 3225 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊))
75, 6syl6bbr 278 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊)))
8 3anass 1081 . . . . . . . 8 ((𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
98a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
10 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
11 vex 3339 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
1211jctl 565 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) → (𝑓 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
133isspthonpth 26851 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑓 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))) → (𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊 ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
1410, 12, 13syl2an 495 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊 ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
15 spthiswlk 26830 . . . . . . . . . 10 (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊𝑓(Walks‘𝐺)𝑊)
16 wlklenvm1 26723 . . . . . . . . . 10 (𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))
173wwlknonOLD 26961 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
1817adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
19 simpl2 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘0) = 𝑎)
20 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))
2120adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))
22 wwlknbp2OLD 26945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
23 oveq1 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
2423adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
25 nn0cn 11490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
26 pncan1 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2827adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2924, 28sylan9eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
3029ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁))
3122, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁))
32313ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁))
3332imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
3421, 33eqtrd 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (♯‘𝑓) = 𝑁)
3534fveq2d 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘(♯‘𝑓)) = (𝑊𝑁))
36 simpl3 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊𝑁) = 𝑏)
3735, 36eqtrd 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)
3819, 37jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))
3938exp32 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
4039com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
4241adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
4318, 42sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
4443imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
4544com12 32 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
4615, 16, 453syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 → ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
4746com12 32 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
4847pm4.71d 669 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
499, 14, 483bitr4rd 301 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊))
5049exbidv 1995 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ↔ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊))
5150pm5.32da 676 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊)))
523wspthnonOLDOLD 26963 . . . . 5 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊)))
5352adantl 473 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊)))
5451, 53bitr4d 271 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
55542rexbidva 3190 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
562, 7, 553bitrd 294 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wex 1849  wcel 2135  wrex 3047  Vcvv 3336   class class class wbr 4800  cfv 6045  (class class class)co 6809  cc 10122  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127  cmin 10454  0cn0 11480  chash 13307  Word cword 13473  Vtxcvtx 26069  Walkscwlks 26698  SPathscspths 26815  SPathsOncspthson 26817   WWalksN cwwlksn 26925   WWalksNOn cwwlksnon 26926   WSPathsN cwwspthsn 26927   WSPathsNOn cwwspthsnon 26928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-hash 13308  df-word 13481  df-wlks 26701  df-wlkson 26702  df-trls 26795  df-trlson 26796  df-pths 26818  df-spths 26819  df-spthson 26821  df-wwlks 26929  df-wwlksn 26930  df-wwlksnon 26931  df-wspthsn 26932  df-wspthsnon 26933
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